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Theorem rmxycomplete 26982
Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxycomplete  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm  n
)  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, X    n, Y

Proof of Theorem rmxycomplete
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 26972 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
213ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN ) )
3 pellfund14b 26964 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
5 nn0re 10232 . . . . . 6  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
653ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
7 rmspecpos 26981 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
87rpsqrcld 12216 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  RR+ )
98rpred 10650 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  RR )
1093ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  RR )
11 zre 10288 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  RR )
12113ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  Y  e.  RR )
1310, 12remulcld 9118 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y )  e.  RR )
146, 13readdcld 9117 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  RR )
1514biantrurd 496 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  RR  /\  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
16 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  X  e.  NN0 )
17 simpl3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  Y  e.  ZZ )
18 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) ) )
19 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) ) )
2120eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) ) ) )
22 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
2322oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
2423eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
2521, 24anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
26 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )
2726oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) ) )
2827eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) ) ) )
29 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
y ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
3029oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )
3130oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
3231eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3328, 32anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  /\  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
3425, 33rspc2ev 3062 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ  /\  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 ) )  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3516, 17, 18, 19, 34syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3635ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
37 rmspecsqrnq 26971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
38373ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
3938adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
40 nn0ssq 10584 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  QQ
41 simp2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  NN0 )
4240, 41sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  QQ )
4342adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  X  e.  QQ )
44 zq 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  QQ )
45443ad2ant3 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  Y  e.  QQ )
4645adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  Y  e.  QQ )
4740sseli 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  QQ )
4847ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  QQ )
49 zq 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
5049ad2antll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  QQ )
51 qirropth 26973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ )  /\  ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ ) )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5239, 43, 46, 48, 50, 51syl122anc 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  <->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5352biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  ->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5453anim1d 549 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
55 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  x  ->  ( X ^ 2 )  =  ( x ^ 2 ) )
56 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  y  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( y ^ 2 ) )
5756oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  y  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5855, 57oveqan12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
5958eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( x ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
6059eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6160biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )
6254, 61syl6 32 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6362rexlimdvva 2839 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6436, 63impbid 185 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
65 elpell14qr 26914 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  e.  RR  /\ 
E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
662, 65syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  e.  RR  /\ 
E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
6715, 64, 663bitr4d 278 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ) )
6838adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
6942adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  X  e.  QQ )
7045adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  Y  e.  QQ )
71 frmx 26978 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
73 simpl1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
74 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
7572, 73, 74fovrnd 6220 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
n )  e.  NN0 )
7640, 75sseldi 3348 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
n )  e.  QQ )
77 zssq 10583 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  QQ
78 frmy 26979 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
8079, 73, 74fovrnd 6220 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
n )  e.  ZZ )
8177, 80sseldi 3348 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
n )  e.  QQ )
82 qirropth 26973 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ )  /\  ( ( A Xrm  n )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  n )  e.  QQ ) )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
8368, 69, 70, 76, 81, 82syl122anc 1194 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
84 rmxyval 26980 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
85843ad2antl1 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
86 rmspecfund 26974 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  (PellFund `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
87863ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
8887adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
8988oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(PellFund `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
n )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
9085, 89eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( (PellFund `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ n ) )
9190eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
n ) ) )
9283, 91bitr3d 248 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
9392rexbidva 2724 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm 
n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
944, 67, 933bitr4d 278 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm  n
)  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    \ cdif 3319    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   QQcq 10576   ^cexp 11384   sqrcsqr 12040  ◻NNcsquarenn 26901  Pell14QRcpell14qr 26904  PellFundcpellfund 26905   Xrm crmx 26965   Yrm crmy 26966
This theorem is referenced by:  rmxynorm  26983  jm2.27b  27079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-numer 13129  df-denom 13130  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-squarenn 26906  df-pell1qr 26907  df-pell14qr 26908  df-pell1234qr 26909  df-pellfund 26910  df-rmx 26967  df-rmy 26968
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