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Theorem rmxycomplete 26168
Description: The X and Y sequences taken together enumerate all solutions to the corresponding Pell equation in the right half-plane. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxycomplete  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm  n
)  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, X    n, Y

Proof of Theorem rmxycomplete
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 26158 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
213ad2ant1 981 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN ) )
3 pellfund14b 26150 . . 3  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
5 nn0re 9853 . . . . . 6  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  RR )
653ad2ant2 982 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
7 rmspecpos 26167 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
87rpsqrcld 11771 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  RR+ )
98rpred 10269 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  RR )
1093ad2ant1 981 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  RR )
11 zre 9907 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  RR )
12113ad2ant3 983 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  Y  e.  RR )
1310, 12remulcld 8743 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y )  e.  RR )
146, 13readdcld 8742 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  RR )
1514biantrurd 496 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  RR  /\  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
16 simpl2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  X  e.  NN0 )
17 simpl3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  Y  e.  ZZ )
18 eqidd 2254 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) ) )
19 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 oveq1 5717 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) ) )
2120eqeq2d 2264 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) ) ) )
22 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
2322oveq1d 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
2423eqeq1d 2261 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
2521, 24anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
26 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y )  =  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )
2726oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) ) )
2827eqeq2d 2264 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) ) ) )
29 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
y ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
3029oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )
3130oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
3231eqeq1d 2261 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3328, 32anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  /\  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
3425, 33rcla42ev 2829 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ  /\  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 ) )  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3516, 17, 18, 19, 34syl112anc 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) )
3635ex 425 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
37 rmspecsqrnq 26157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
38373ad2ant1 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
3938adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
40 nn0ssq 10203 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  C_  QQ
41 simp2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  NN0 )
4240, 41sseldi 3101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  X  e.  QQ )
4342adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  X  e.  QQ )
44 zq 10201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  QQ )
45443ad2ant3 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  Y  e.  QQ )
4645adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  Y  e.  QQ )
4740sseli 3099 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  QQ )
4847ad2antrl 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  QQ )
49 zq 10201 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  QQ )
5049ad2antll 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  QQ )
51 qirropth 26159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ )  /\  ( x  e.  QQ  /\  y  e.  QQ ) )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  <->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5239, 43, 46, 48, 50, 51syl122anc 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  <->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5352biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  ->  ( X  =  x  /\  Y  =  y ) ) )
5453anim1d 549 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) )
55 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  x  ->  ( X ^ 2 )  =  ( x ^ 2 ) )
56 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  y  ->  ( Y ^ 2 )  =  ( y ^ 2 ) )
5756oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  y  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5855, 57oveqan12d 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
5958eqcomd 2258 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( x ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) ) )
6059eqeq1d 2261 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1  <-> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6160biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( Y ^
2 ) ) )  =  1 )
6254, 61syl6 31 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6362rexlimdvva 2636 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1 ) )
6436, 63impbid 185 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  y ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
y ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) )
65 elpell14qr 26100 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  e.  RR  /\ 
E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
662, 65syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  <->  ( ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  e.  RR  /\ 
E. x  e.  NN0  E. y  e.  ZZ  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( x  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  y
) )  /\  (
( x ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
6715, 64, 663bitr4d 278 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  Y ) )  e.  (Pell14QR `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ) )
6838adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
6942adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  X  e.  QQ )
7045adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  Y  e.  QQ )
71 frmx 26164 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
7271a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  -> Xrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0 )
73 simpl1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
74 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
75 fovrn 5842 . . . . . . 7  |-  ( ( Xrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  n )  e.  NN0 )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
n )  e.  NN0 )
7740, 76sseldi 3101 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
n )  e.  QQ )
78 zssq 10202 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  QQ
79 frmy 26165 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
8079a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  -> Yrm  : ( ( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ )
81 fovrn 5842 . . . . . . 7  |-  ( ( Yrm  : ( ( ZZ>= `  2
)  X.  ZZ ) --> ZZ  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  n )  e.  ZZ )
8280, 73, 74, 81syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
n )  e.  ZZ )
8378, 82sseldi 3101 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
n )  e.  QQ )
84 qirropth 26159 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( X  e.  QQ  /\  Y  e.  QQ )  /\  ( ( A Xrm  n )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  n )  e.  QQ ) )  -> 
( ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
8568, 69, 70, 77, 83, 84syl122anc 1196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
86 rmxyval 26166 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
87863ad2antl1 1122 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
88 rmspecfund 26160 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  (PellFund `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
89883ad2ant1 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
9089adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  =  ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
9190oveq1d 5725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
(PellFund `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
n )  =  ( ( A  +  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) ^ n ) )
9287, 91eqtr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  =  ( (PellFund `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ n ) )
9392eqeq2d 2264 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( ( A Xrm  n )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  n ) ) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  Y
) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
n ) ) )
9485, 93bitr3d 248 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( X  =  ( A Xrm  n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) )  <->  ( X  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
9594rexbidva 2524 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm 
n )  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) )  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  +  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  Y ) )  =  ( (PellFund `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ n
) ) )
964, 67, 953bitr4d 278 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  (
( ( X ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( Y ^ 2 ) ) )  =  1  <->  E. n  e.  ZZ  ( X  =  ( A Xrm  n
)  /\  Y  =  ( A Yrm  n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510    \ cdif 3075    X. cxp 4578   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   NNcn 9626   2c2 9675   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   QQcq 10195   ^cexp 10982   sqrcsqr 11595  ◻NNcsquarenn 26087  Pell14QRcpell14qr 26090  PellFundcpellfund 26091   Xrm crmx 26151   Yrm crmy 26152
This theorem is referenced by:  rmxynorm  26169  jm2.27b  26265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-numer 12680  df-denom 12681  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-squarenn 26092  df-pell1qr 26093  df-pell14qr 26094  df-pell1234qr 26095  df-pellfund 26096  df-rmx 26153  df-rmy 26154
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