Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypos Structured version   Unicode version

Theorem rmxypos 27012
 Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos Xrm Yrm

Proof of Theorem rmxypos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . . . 6 Xrm Xrm
21breq2d 4224 . . . . 5 Xrm Xrm
3 oveq2 6089 . . . . . 6 Yrm Yrm
43breq2d 4224 . . . . 5 Yrm Yrm
52, 4anbi12d 692 . . . 4 Xrm Yrm Xrm Yrm
65imbi2d 308 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm
7 oveq2 6089 . . . . . 6 Xrm Xrm
87breq2d 4224 . . . . 5 Xrm Xrm
9 oveq2 6089 . . . . . 6 Yrm Yrm
109breq2d 4224 . . . . 5 Yrm Yrm
118, 10anbi12d 692 . . . 4 Xrm Yrm Xrm Yrm
1211imbi2d 308 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm
13 oveq2 6089 . . . . . 6 Xrm Xrm
1413breq2d 4224 . . . . 5 Xrm Xrm
15 oveq2 6089 . . . . . 6 Yrm Yrm
1615breq2d 4224 . . . . 5 Yrm Yrm
1714, 16anbi12d 692 . . . 4 Xrm Yrm Xrm Yrm
1817imbi2d 308 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm
19 oveq2 6089 . . . . . 6 Xrm Xrm
2019breq2d 4224 . . . . 5 Xrm Xrm
21 oveq2 6089 . . . . . 6 Yrm Yrm
2221breq2d 4224 . . . . 5 Yrm Yrm
2320, 22anbi12d 692 . . . 4 Xrm Yrm Xrm Yrm
2423imbi2d 308 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm
25 0lt1 9550 . . . . 5
26 rmx0 26988 . . . . 5 Xrm
2725, 26syl5breqr 4248 . . . 4 Xrm
28 0le0 10081 . . . . 5
29 rmy0 26992 . . . . 5 Yrm
3028, 29syl5breqr 4248 . . . 4 Yrm
3127, 30jca 519 . . 3 Xrm Yrm
32 simp2 958 . . . . . . . . . . 11 Xrm Yrm
33 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . 12
34333ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11 Xrm Yrm
35 frmx 26976 . . . . . . . . . . . 12 Xrm
3635fovcl 6175 . . . . . . . . . . 11 Xrm
3732, 34, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 Xrm Yrm Xrm
3837nn0red 10275 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm Xrm
39 eluzelre 10497 . . . . . . . . . 10
40393ad2ant2 979 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm
4138, 40remulcld 9116 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Xrm
42 rmspecpos 26979 . . . . . . . . . . 11
4342rpred 10648 . . . . . . . . . 10
44433ad2ant2 979 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm
45 frmy 26977 . . . . . . . . . . . 12 Yrm
4645fovcl 6175 . . . . . . . . . . 11 Yrm
4732, 34, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 Xrm Yrm Yrm
4847zred 10375 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm Yrm
4944, 48remulcld 9116 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Yrm
50 simp3l 985 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm Xrm
51 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . 13
52 uznnssnn 10524 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
5453sseli 3344 . . . . . . . . . . 11
5554nngt0d 10043 . . . . . . . . . 10
56553ad2ant2 979 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm
5738, 40, 50, 56mulgt0d 9225 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Xrm
5842rpge0d 10652 . . . . . . . . . 10
59583ad2ant2 979 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm
60 simp3r 986 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm Yrm
6144, 48, 59, 60mulge0d 9603 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Yrm
62 addgtge0 9516 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Xrm Yrm Xrm Yrm
6341, 49, 57, 61, 62syl22anc 1185 . . . . . . 7 Xrm Yrm Xrm Yrm
64 rmxp1 26995 . . . . . . . 8 Xrm Xrm Yrm
6532, 34, 64syl2anc 643 . . . . . . 7 Xrm Yrm Xrm Xrm Yrm
6663, 65breqtrrd 4238 . . . . . 6 Xrm Yrm Xrm
6748, 40remulcld 9116 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Yrm
68 2nn0 10238 . . . . . . . . . . . 12
69 eluznn0 10546 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69mpan 652 . . . . . . . . . . 11
7170nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . 10
72713ad2ant2 979 . . . . . . . . 9 Xrm Yrm
7348, 40, 60, 72mulge0d 9603 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Yrm
7437nn0ge0d 10277 . . . . . . . 8 Xrm Yrm Xrm
7567, 38, 73, 74addge0d 9602 . . . . . . 7 Xrm Yrm Yrm Xrm
76 rmyp1 26996 . . . . . . . 8 Yrm Yrm Xrm
7732, 34, 76syl2anc 643 . . . . . . 7 Xrm Yrm Yrm Yrm Xrm
7875, 77breqtrrd 4238 . . . . . 6 Xrm Yrm Yrm
7966, 78jca 519 . . . . 5 Xrm Yrm Xrm Yrm
80793exp 1152 . . . 4 Xrm Yrm Xrm Yrm
8180a2d 24 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10366 . 2 Xrm Yrm
8382impcom 420 1 Xrm Yrm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3320   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cuz 10488  cexp 11382   Xrm crmx 26963   Yrm crmy 26964 This theorem is referenced by:  ltrmynn0  27013  ltrmxnn0  27014  rmxnn  27016  rmynn0  27022  rmyabs  27023  jm2.24nn  27024  jm2.17b  27026 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-numer 13127  df-denom 13128  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-squarenn 26904  df-pell1qr 26905  df-pell14qr 26906  df-pell1234qr 26907  df-pellfund 26908  df-rmx 26965  df-rmy 26966
 Copyright terms: Public domain W3C validator