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Theorem rmxypos 26433
Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  N
)  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) )
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem rmxypos
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  0 ) )
21breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  0 ) ) )
3 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
43breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
52, 4anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) )
65imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  b ) )
87breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  b ) ) )
9 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
109breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  b ) ) )
118, 10anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_  ( A Yrm  b ) ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_  ( A Yrm  b ) ) ) ) )
13 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
1413breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
1615breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
1714, 16anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  N ) )
2019breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
0  <  ( A Xrm  a )  <->  0  <  ( A Xrm 
N ) ) )
21 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
2221breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
0  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
2320, 22anbi12d 693 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) )  <-> 
( 0  <  ( A Xrm 
N )  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) ) )
2423imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  a )  /\  0  <_  ( A Yrm  a ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm 
N )  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
25 0lt1 9291 . . . . 5  |-  0  <  1
26 rmx0 26409 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  0 )  =  1 )
2725, 26syl5breqr 4060 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( A Xrm  0 ) )
28 0le0 9822 . . . . 5  |-  0  <_  0
29 rmy0 26413 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3028, 29syl5breqr 4060 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) )
3127, 30jca 520 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  <  ( A Xrm  0 )  /\  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
32 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
33 nn0z 10041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
34333ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
35 frmx 26397 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3635fovcl 5910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
3732, 34, 36syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
3837nn0red 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
39 eluzelre 10234 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
40393ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  A  e.  RR )
4138, 40remulcld 8858 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A Xrm  b )  x.  A
)  e.  RR )
42 rmspecpos 26400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
4342rpred 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
44433ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR )
45 frmy 26398 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4645fovcl 5910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
4732, 34, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
4847zred 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
4944, 48remulcld 8858 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )
50 simp3l 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
51 2nn 9872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
52 uznnssnn 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
5351, 52ax-mp 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
5453sseli 3177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
5554nngt0d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  A )
56553ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  A )
5738, 40, 50, 56mulgt0d 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A ) )
5842rpge0d 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
59583ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
60 simp3r 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
6144, 48, 59, 60mulge0d 9344 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) )
62 addgtge0 9257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  e.  RR  /\  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )  /\  ( 0  < 
( ( A Xrm  b )  x.  A )  /\  0  <_  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )  ->  0  <  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6341, 49, 57, 61, 62syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
64 rmxp1 26416 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6532, 34, 64syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
6663, 65breqtrrd 4050 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
6748, 40remulcld 8858 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  x.  A
)  e.  RR )
68 2nn0 9977 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
69 eluznn0 10283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN0 )
7068, 69mpan 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN0 )
7170nn0ge0d 10016 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  A )
72713ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  A )
7348, 40, 60, 72mulge0d 9344 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )
7437nn0ge0d 10016 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Xrm  b ) )
7567, 38, 73, 74addge0d 9343 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
76 rmyp1 26417 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
7732, 34, 76syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
7875, 77breqtrrd 4050 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
7966, 78jca 520 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
80793exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) )  ->  ( 0  < 
( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
8180a2d 25 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( 0  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10103 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 0  <  ( A Xrm  N )  /\  0  <_  ( A Yrm 
N ) ) ) )
8382impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  N
)  /\  0  <_  ( A Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   ^cexp 11098   Xrm crmx 26384   Yrm crmy 26385
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  26434  ltrmxnn0  26435  rmxnn  26437  rmynn0  26443  rmyabs  26444  jm2.24nn  26445  jm2.17b  26447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-numer 12800  df-denom 12801  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-squarenn 26325  df-pell1qr 26326  df-pell14qr 26327  df-pell1234qr 26328  df-pellfund 26329  df-rmx 26386  df-rmy 26387
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