Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Unicode version

Theorem rmygeid 27062
Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) )

Proof of Theorem rmygeid
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  a  =  0 )
2 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
31, 2breq12d 4038 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
43imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) )
5 id 19 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
6 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
75, 6breq12d 4038 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  b  <_  ( A Yrm  b ) ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) ) ) )
9 id 19 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  a  =  ( b  +  1 ) )
10 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 4038 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
13 id 19 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  a  =  N )
14 oveq2 5868 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
1513, 14breq12d 4038 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  N  <_  ( A Yrm  N ) ) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N
) ) ) )
17 0le0 9829 . . . 4  |-  0  <_  0
18 rmy0 27025 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1917, 18syl5breqr 4061 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) )
20 nn0z 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
21203ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  e.  ZZ )
2221peano2zd 10122 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  e.  ZZ )
2322zred 10119 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  e.  RR )
24 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
25 frmy 27010 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2625fovcl 5951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2724, 21, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10122 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zred 10119 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  e.  RR )
3025fovcl 5951 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
3124, 22, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
3231zred 10119 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
33 nn0re 9976 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
34333ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  e.  RR )
3527zred 10119 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
36 1re 8839 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3736a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  1  e.  RR )
38 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) )
3934, 35, 37, 38leadd1dd 9388 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  <_  (
( A Yrm  b )  +  1 ) )
4034ltp1d 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  <  (
b  +  1 ) )
41 ltrmy 27050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4224, 21, 22, 41syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  < 
( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4340, 42mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
44 zltp1le 10069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4527, 31, 44syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4643, 45mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
4723, 29, 32, 39, 46letrd 8975 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
48473exp 1150 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( b  <_  ( A Yrm  b )  -> 
( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
4948a2d 23 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
504, 8, 12, 16, 19, 49nn0ind 10110 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) ) )
5150impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    < clt 8869    <_ cle 8870   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   Yrm crmy 26997
This theorem is referenced by:  jm2.27a  27109  jm2.27c  27111  expdiophlem1  27125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-numer 12808  df-denom 12809  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-squarenn 26937  df-pell1qr 26938  df-pell14qr 26939  df-pell1234qr 26940  df-pellfund 26941  df-rmx 26998  df-rmy 26999
  Copyright terms: Public domain W3C validator