Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Unicode version

Theorem rmygeid 26404
Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) )

Proof of Theorem rmygeid
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  a  =  0 )
2 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
31, 2breq12d 3996 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
43imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) )
5 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
6 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
75, 6breq12d 3996 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  b  <_  ( A Yrm  b ) ) )
87imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) ) ) )
9 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  a  =  ( b  +  1 ) )
10 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 3996 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
13 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  a  =  N )
14 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
1513, 14breq12d 3996 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  N  <_  ( A Yrm  N ) ) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N
) ) ) )
17 0le0 9781 . . . 4  |-  0  <_  0
18 rmy0 26367 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1917, 18syl5breqr 4019 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) )
20 nn0z 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
21203ad2ant1 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  e.  ZZ )
2221peano2zd 10073 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  e.  ZZ )
2322zred 10070 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  e.  RR )
24 simp2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
25 frmy 26352 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2625fovcl 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2724, 21, 26syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10073 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zred 10070 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  e.  RR )
3025fovcl 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
3124, 22, 30syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
3231zred 10070 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
33 nn0re 9927 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
34333ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  e.  RR )
3527zred 10070 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
36 1re 8791 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3736a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  1  e.  RR )
38 simp3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) )
3934, 35, 37, 38leadd1dd 9340 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  <_  (
( A Yrm  b )  +  1 ) )
4034ltp1d 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  <  (
b  +  1 ) )
41 ltrmy 26392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4224, 21, 22, 41syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  < 
( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4340, 42mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
44 zltp1le 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4527, 31, 44syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4643, 45mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
4723, 29, 32, 39, 46letrd 8927 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
48473exp 1155 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( b  <_  ( A Yrm  b )  -> 
( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
4948a2d 25 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
504, 8, 12, 16, 19, 49nn0ind 10061 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) ) )
5150impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    < clt 8821    <_ cle 8822   2c2 9749   NN0cn0 9918   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183   Yrm crmy 26339
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26451  jm2.27c  26453  expdiophlem1  26467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-ef 12297  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-numer 12754  df-denom 12755  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165  df-log 19862  df-squarenn 26279  df-pell1qr 26280  df-pell14qr 26281  df-pell1234qr 26282  df-pellfund 26283  df-rmx 26340  df-rmy 26341
  Copyright terms: Public domain W3C validator