Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Unicode version

Theorem rmygeid 26383
Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) )

Proof of Theorem rmygeid
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  a  =  0 )
2 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
31, 2breq12d 3976 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) )
43imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) ) ) )
5 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
6 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
75, 6breq12d 3976 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  b  <_  ( A Yrm  b ) ) )
87imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) ) ) )
9 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  a  =  ( b  +  1 ) )
10 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 3976 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
13 id 21 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  a  =  N )
14 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
1513, 14breq12d 3976 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
a  <_  ( A Yrm  a )  <->  N  <_  ( A Yrm  N ) ) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
a  <_  ( A Yrm  a ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N
) ) ) )
17 0le0 9760 . . . 4  |-  0  <_  0
18 rmy0 26346 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1917, 18syl5breqr 3999 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  ( A Yrm  0 ) )
20 nn0z 9978 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
21203ad2ant1 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  e.  ZZ )
2221peano2zd 10052 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  e.  ZZ )
2322zred 10049 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  e.  RR )
24 simp2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
25 frmy 26331 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2625fovcl 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2724, 21, 26syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10052 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zred 10049 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  e.  RR )
3025fovcl 5848 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
3124, 22, 30syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
3231zred 10049 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
33 nn0re 9906 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
34333ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  e.  RR )
3527zred 10049 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
36 1re 8770 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3736a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  1  e.  RR )
38 simp3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) )
3934, 35, 37, 38leadd1dd 9319 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  <_  (
( A Yrm  b )  +  1 ) )
4034ltp1d 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  b  <  (
b  +  1 ) )
41 ltrmy 26371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4224, 21, 22, 41syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  < 
( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4340, 42mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
44 zltp1le 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4527, 31, 44syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
4643, 45mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( ( A Yrm  b )  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
4723, 29, 32, 39, 46letrd 8906 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
48473exp 1155 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( b  <_  ( A Yrm  b )  -> 
( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
4948a2d 25 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  b  <_  ( A Yrm  b ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( b  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
504, 8, 12, 16, 19, 49nn0ind 10040 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) ) )
5150impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( A Yrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    < clt 8800    <_ cle 8801   2c2 9728   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   Yrm crmy 26318
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26430  jm2.27c  26432  expdiophlem1  26446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-numer 12733  df-denom 12734  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-squarenn 26258  df-pell1qr 26259  df-pell14qr 26260  df-pell1234qr 26261  df-pellfund 26262  df-rmx 26319  df-rmy 26320
  Copyright terms: Public domain W3C validator