Theorem rnbra 9978

Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals.

Assertion

Ref	Expression
rnbra	|- ran bra = (LinFn i^i ConFn)

Proof of Theorem rnbra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bravalt 9806	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> (bra` z) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
2	1	eqeq2d 1483	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (t = (bra` z) <-> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
3		pm3.27 323	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> t = (bra` z))
4		bralnfnt 9811	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H~ -> (bra` z) e. LinFn)
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (bra` z) e. LinFn)
6	3, 5	eqeltrd 1545	. . . . . . . . 9 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> t e. LinFn)
7		fveq2 3715	. . . . . . . . . . 11 |- (t = (bra` z) -> (normfn` t) = (normfn` (bra` z)))
8	7	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (normfn` t) = (normfn` (bra` z)))
9		brabnt 9977	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H~ -> (normfn` (bra` z)) e. RR)
10	9	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (normfn` (bra` z)) e. RR)
11	8, 10	eqeltrd 1545	. . . . . . . . 9 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (normfn` t) e. RR)
12	6, 11	jca 288	. . . . . . . 8 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
13	12	ex 373	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (t = (bra` z) -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR)))
14	2, 13	sylbird 205	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> (t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR)))
15	14	r19.23aiv 1740	. . . . 5 |- (E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
16		riesz1t 9936	. . . . . . 7 |- (t e. LinFn -> ((normfn` t) e. RR <-> E.z e. H~ A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z)))
17	16	biimpa 416	. . . . . 6 |- ((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) -> E.z e. H~ A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z))
18		lnfnft 9751	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. LinFn -> t:H~-->CC)
19	18	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . 11 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> t:H~-->CC)
20		fopabfv 3822	. . . . . . . . . . . 12 |- (t:H~-->CC <-> (t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} /\ A.x e. H~ (t` x) e. CC))
21	20	pm3.26bi 322	. . . . . . . . . . 11 |- (t:H~-->CC -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))})
22	19, 21	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))})
23		id 59	. . . . . . . . . 10 |- ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
24	22, 23	sylan9eq 1524	. . . . . . . . 9 |- ((((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) /\ {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}) -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
25	24	ex 373	. . . . . . . 8 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
26		hbra1 1684	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> A.xA.x e. H~ (t` x) = (x .ih z))
27		ax-17 969	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> A.yA.x e. H~ (t` x) = (x .ih z))
28		ra4 1691	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> (x e. H~ -> (t` x) = (x .ih z)))
29		eqeq2 1481	. . . . . . . . . . 11 |- ((t` x) = (x .ih z) -> (y = (t` x) <-> y = (x .ih z)))
30	28, 29	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> (x e. H~ -> (y = (t` x) <-> y = (x .ih z))))
31	30	pm5.32d 646	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> ((x e. H~ /\ y = (t` x)) <-> (x e. H~ /\ y = (x .ih z))))
32	26, 27, 31	opabbid 2664	. . . . . . . 8 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
33	25, 32	syl5 21	. . . . . . 7 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
34	33	r19.22dva 1736	. . . . . 6 |- ((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) -> (E.z e. H~ A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
35	17, 34	mpd 26	. . . . 5 |- ((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) -> E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
36	15, 35	impbi 157	. . . 4 |- (E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} <-> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
37		lnfncnbdt 9930	. . . . 5 |- (t e. LinFn -> (t e. ConFn <-> (normfn` t) e. RR))
38	37	pm5.32i 644	. . . 4 |- ((t e. LinFn /\ t e. ConFn) <-> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
39	36, 38	bitr4 176	. . 3 |- (E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} <-> (t e. LinFn /\ t e. ConFn))
40		ax-hilex 8808	. . . . 5 |- H~ e. V
41	40	opabex2 3602	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} e. V
42		df-bra 9716	. . . 4 |- bra = {<.z, t>. | (z e. H~ /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})}
43	41, 42	elrnopab 3792	. . 3 |- (t e. ran bra <-> E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
44		elin 2203	. . 3 |- (t e. (LinFn i^i ConFn) <-> (t e. LinFn /\ t e. ConFn))
45	39, 43, 44	3bitr4 183	. 2 |- (t e. ran bra <-> t e. (LinFn i^i ConFn))
46	45	eqriv 1472	1 |- ran bra = (LinFn i^i ConFn)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   i^i cin 2042  {copab 2661  ran crn 3166  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  H~chil 8727   .ih csp 8732  norm_fncnmf 8759  ConFnccnf 8761  LinFnclf 8762  bracbr 8764

This theorem is referenced by:  bra11 9979  cnvbravalt 9981

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891  ax-hcompl 9010

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim