MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnexg Unicode version

Theorem rnexg 4893
Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
rnexg  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )

Proof of Theorem rnexg
StepHypRef Expression
1 uniexg 4454 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexg 4454 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U.
U. A  e.  _V )
3 ssun2 3281 . . . 4  |-  ran  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
4 dmrnssfld 4891 . . . 4  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
53, 4sstri 3130 . . 3  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
6 ssexg 4100 . . 3  |-  ( ( ran  A  C_  U. U. A  /\  U. U. A  e.  _V )  ->  ran  A  e.  _V )
75, 6mpan 654 . 2  |-  ( U. U. A  e.  _V  ->  ran 
A  e.  _V )
81, 2, 73syl 20 1  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   _Vcvv 2740    u. cun 3092    C_ wss 3094   U.cuni 3768   dom cdm 4626   ran crn 4627
This theorem is referenced by:  rnex  4895  imaexg  4979  xpexr  5067  xpexr2  5068  soex  5075  cnvexg  5160  coexg  5167  cofunexg  5638  funrnex  5646  abrexexg  5663  tposexg  6147  iunon  6288  onoviun  6293  tz7.44lem1  6351  tz7.44-3  6354  fopwdom  6903  disjen  6951  domss2  6953  domssex  6955  hartogslem2  7191  dfac12lem2  7703  unirnfdomd  8122  restval  13258  prdsbas  13284  prdsplusg  13285  prdsmulr  13286  prdsvsca  13287  prdshom  13293  sscpwex  13619  sylow1lem4  14839  sylow3lem2  14866  sylow3lem3  14867  lsmvalx  14877  txindislem  17254  xkoptsub  17275  fmfnfmlem3  17578  fmfnfmlem4  17579  isgrpo  20788  grpoinvfval  20816  grpodivfval  20834  gxfval  20849  issubgoi  20902  elghomlem1  20953  elghomlem2  20954  ghgrp  20960  isrngod  20971  isvc  21062  isnv  21093  oprabex2gpop  24367  iscst2  24507  unsgrp  24699  aidm2  25082  iscringd  25956  lmhmlnmsplit  26517  bnj1366  27874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-cnv 4642  df-dm 4644  df-rn 4645
  Copyright terms: Public domain W3C validator