MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnexg Unicode version

Theorem rnexg 5122
Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
rnexg  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )

Proof of Theorem rnexg
StepHypRef Expression
1 uniexg 4697 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexg 4697 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U.
U. A  e.  _V )
3 ssun2 3503 . . . 4  |-  ran  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
4 dmrnssfld 5120 . . . 4  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
53, 4sstri 3349 . . 3  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
6 ssexg 4341 . . 3  |-  ( ( ran  A  C_  U. U. A  /\  U. U. A  e.  _V )  ->  ran  A  e.  _V )
75, 6mpan 652 . 2  |-  ( U. U. A  e.  _V  ->  ran 
A  e.  _V )
81, 2, 73syl 19 1  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   U.cuni 4007   dom cdm 4869   ran crn 4870
This theorem is referenced by:  rnex  5124  imaexg  5208  xpexr  5298  xpexr2  5299  soex  5310  cnvexg  5396  coexg  5403  cofunexg  5950  funrnex  5958  abrexexg  5975  tposexg  6484  iunon  6591  onoviun  6596  tz7.44lem1  6654  tz7.44-3  6657  fopwdom  7207  disjen  7255  domss2  7257  domssex  7259  hartogslem2  7501  dfac12lem2  8013  unirnfdomd  8431  hashf1rn  11624  restval  13642  prdsbas  13668  prdsplusg  13669  prdsmulr  13670  prdsvsca  13671  prdshom  13677  sscpwex  14003  sylow1lem4  15223  sylow3lem2  15250  sylow3lem3  15251  lsmvalx  15261  txindislem  17653  xkoptsub  17674  fmfnfmlem3  17976  fmfnfmlem4  17977  ustuqtoplem  18257  ustuqtop0  18258  utopsnneiplem  18265  sizeusglecusg  21483  isgrpo  21772  grpoinvfval  21800  grpodivfval  21818  gxfval  21833  issubgoi  21886  elghomlem1  21937  elghomlem2  21938  ghgrp  21944  isrngod  21955  isvc  22048  isnv  22079  abrexexd  23978  sxsigon  24534  sitgclg  24644  iscringd  26546  lmhmlnmsplit  27100  hashimarn  28067  bnj1366  29055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-cnv 4877  df-dm 4879  df-rn 4880
  Copyright terms: Public domain W3C validator