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Theorem rngcom 15692
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (See also lmodcom 15990.) (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngacl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcom  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem rngcom
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 rngacl.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3rngidcl 15684 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
51, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
6 rngacl.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
72, 6rngacl 15691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B )
81, 5, 5, 7syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B )
9 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
11 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
122, 6, 11rngdi 15682 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y ) ) )
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y ) ) )
142, 6rngacl 15691 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
152, 6, 11rngdir 15683 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( X  .+  Y ) ) ) )
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
1713, 16eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) 
.+  ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
182, 6, 11rngdir 15683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) X )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) X ) ) )
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X ) ) )
202, 11, 3rnglidm 15687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X )  =  X )
211, 9, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X )  =  X )
2221, 21oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) X )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( X  .+  X ) )
2319, 22eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( X  .+  X
) )
242, 6, 11rngdir 15683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) Y )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) Y ) ) )
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) Y )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y ) ) )
262, 11, 3rnglidm 15687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y )  =  Y )
271, 10, 26syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y )  =  Y )
2827, 27oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) Y )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) Y ) )  =  ( Y  .+  Y ) )
2925, 28eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y )  =  ( Y  .+  Y
) )
3023, 29oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) 
.+  ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y ) )  =  ( ( X  .+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
312, 11, 3rnglidm 15687 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
321, 14, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
3332, 32oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3417, 30, 333eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
35 rnggrp 15669 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
361, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
372, 6rngacl 15691 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  X )  e.  B )
381, 9, 9, 37syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  X )  e.  B )
392, 6grpass 14819 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  X )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
412, 6grpass 14819 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4334, 40, 423eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y ) )
442, 6rngacl 15691 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  B )
451, 38, 10, 44syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  B )
462, 6rngacl 15691 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  B )
471, 14, 9, 46syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  B )
482, 6grprcan 14838 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  .+  Y
)  =  ( ( ( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5043, 49mpbid 202 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  X ) )
512, 6grpass 14819 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
532, 6grpass 14819 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5550, 52, 543eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
562, 6rngacl 15691 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B )
57563com23 1159 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B )
582, 6grplcan 14857 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( Y  .+  X
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <-> 
( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) ) )
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
6055, 59mpbid 202 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   Grpcgrp 14685   Ringcrg 15660   1rcur 15662
This theorem is referenced by:  rngabl  15693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665
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