Theorem rninxp 3468

Description: Range of the intersection with a cross product.

Assertion

Ref	Expression
rninxp	|- (ran ( C i^i (A X. B)) = B <-> A.y e. B E.x e. A xCy)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem rninxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2049	. 2 |- (B (_ ran ( C |` A) <-> A.y e. B y e. ran ( C |` A))
2		ssrnres 3467	. 2 |- (B (_ ran ( C |` A) <-> ran ( C i^i (A X. B)) = B)
3		ancom 435	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. C /\ x e. A) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. C))
4		visset 1804	. . . . . . 7 |- y e. V
5	4	opelres 3356	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (C |` A) <-> (<.x, y>. e. C /\ x e. A))
6		df-br 2610	. . . . . . 7 |- (xCy <-> <.x, y>. e. C)
7	6	anbi2i 479	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ xCy) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. C))
8	3, 5, 7	3bitr4 183	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (C |` A) <-> (x e. A /\ xCy))
9	8	exbii 1047	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. (C |` A) <-> E.x(x e. A /\ xCy))
10	4	elrn2 3335	. . . 4 |- (y e. ran ( C |` A) <-> E.x<.x, y>. e. (C |` A))
11		df-rex 1642	. . . 4 |- (E.x e. A xCy <-> E.x(x e. A /\ xCy))
12	9, 10, 11	3bitr4 183	. . 3 |- (y e. ran ( C |` A) <-> E.x e. A xCy)
13	12	ralbii 1659	. 2 |- (A.y e. B y e. ran ( C |` A) <-> A.y e. B E.x e. A xCy)
14	1, 2, 13	3bitr3 181	1 |- (ran ( C i^i (A X. B)) = B <-> A.y e. B E.x e. A xCy)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  E.wrex 1638   i^i cin 2036   (_ wss 2037  <.cop 2401   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  ran crn 3161   |` cres 3162

This theorem is referenced by:  dminxp 3469  fncnv 3547  exfo 3807  brdom3 4773  brdom5 4774  brdom4 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180

Copyright terms: Public domain