Theorem rnopab 3347

Description: The range of a class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran {<.x, y>. | ph} = {y | E.xph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2808	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab2 2809	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
3	1, 2	dfrnf 3342	. 2 |- ran {<.x, y>. | ph} = {y | E.x<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph}}
4		opabid 2805	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
5	4	exbii 1049	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xph)
6	5	abbii 1572	. 2 |- {y | E.x<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph}} = {y | E.xph}
7	3, 6	eqtr 1492	1 |- ran {<.x, y>. | ph} = {y | E.xph}

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  <.cop 2407  {copab 2661  ran crn 3166

This theorem is referenced by:  rnopab2 3348  fopab2 3814  rnoprab 3995  fo1st 4081  fo2nd 4082  qsexg 4284  unfilem1 4530  ac6lem 4734  pjrn 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184

Copyright terms: Public domain