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Theorem rolle 19337
Description: Rolle's theorem. If  F is a real continuous function on  [ A ,  B ] which is differentiable on  ( A ,  B
), and  F ( A )  =  F ( B ), then there is some  x  e.  ( A ,  B ) such that  ( RR  _D  F ) `  x  =  0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( F `
 B ) )
Assertion
Ref Expression
rolle  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, B    x, F

Proof of Theorem rolle
Dummy variables  u  t  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rolle.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rolle.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 rolle.lt . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  B )
41, 2, 3ltled 8967 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
61, 2, 4, 5evthicc 18819 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  E. v  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
7 reeanv 2707 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( A [,] B ) E. v  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 v )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( E. u  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  E. v  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
86, 7sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( A [,] B ) E. v  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
9 r19.26 2675 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  <->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )
101ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  RR )
112ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  B  e.  RR )
123ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  <  B )
135ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
14 rolle.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
16 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  u
) )
1716ralimi 2618 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )
)
18 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
1918breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  <->  ( F `  t )  <_  ( F `  u )
) )
2019cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( F `  t
)  <_  ( F `  u ) )
2117, 20sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B
) ( F `  t )  <_  ( F `  u )
)
2221ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( F `  t )  <_  ( F `  u ) )
23 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  u  e.  ( A [,] B ) )
24 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  -.  u  e.  { A ,  B } )
2510, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24rollelem 19336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
2625expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  ( -.  u  e.  { A ,  B }  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
271ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  RR )
282ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  B  e.  RR )
293ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  <  B )
30 cncff 18397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
315, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
32 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  RR )
3331, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  RR )
3433renegcld 9210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 u )  e.  RR )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
)  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
)
3634, 35fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
37 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
38 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
39 cncfss 18403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC ) )
4037, 38, 39mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A [,] B )
-cn-> RR )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC )
4140, 5sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
4235negfcncf 18422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
44 cncffvrn 18402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  <-> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR ) )
4537, 43, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  <-> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR ) )
4636, 45mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
4837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
49 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
501, 2, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
51 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
5231, 37, 51sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
53 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5452, 53sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5554negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 u )  e.  CC )
56 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5756tgioo2 18309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
58 iccntr 18326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
591, 2, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
6048, 50, 55, 57, 56, 59dvmptntr 19320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( F `  u )
) ) )
61 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
6261prid1 3734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
64 ioossicc 10735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
6564sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  ( A [,] B
) )
6665, 54sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
67 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  _D  F ) `
 u )  e. 
_V
6867a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  u )  e.  _V )
6931feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 u ) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  u ) ) ) )
71 dvf 19257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
7214feq2d 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
7371, 72mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
7473feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 u ) ) )
7548, 50, 54, 57, 56, 59dvmptntr 19320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  u ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 u ) ) ) )
7670, 74, 753eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  u )
) )
7763, 66, 68, 76dvmptneg 19315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
7860, 77eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
7978dmeqd 4881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  dom  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
80 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  ( A (,) B ) -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V  ->  dom  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)  =  ( A (,) B ) )
81 negex 9050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V )
8380, 82mprg 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) )  =  ( A (,) B )
8479, 83syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( A (,) B ) )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( A (,) B ) )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )
8731ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
88 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  v  e.  ( A [,] B ) )
89 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  v  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  v )  e.  RR )
9087, 88, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  v )  e.  RR )
9131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
92 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
9391, 92sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
9490, 93lenegd 9351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  v )  <_  ( F `  y
)  <->  -u ( F `  y )  <_  -u ( F `  v )
) )
95 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
9695negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  y  ->  -u ( F `  u )  =  -u ( F `  y ) )
97 negex 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
9896, 35, 97fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
9998adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
100 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  v  ->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) )
101100negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  v  ->  -u ( F `  u )  =  -u ( F `  v ) )
102 negex 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u ( F `  v )  e.  _V
103101, 35, 102fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( A [,] B )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  =  -u ( F `  v ) )
10488, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  v )  =  -u ( F `  v ) )
10599, 104breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  v
) ) )
10694, 105bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  v )  <_  ( F `  y
)  <->  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
10786, 106syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
108107ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
109108imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
110 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t ) )
111110breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  <->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  v )
) )
112111cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  v )  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
113109, 112sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  t )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
114113adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
115 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
v  e.  ( A [,] B ) )
116 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  -.  v  e.  { A ,  B } )
11727, 28, 29, 47, 85, 114, 115, 116rollelem 19336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0 )
11878fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  ( ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) `  x
) )
119 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  u )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
120119negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  =  -u ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
121 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)
122 negex 9050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( RR  _D  F
) `  x )  e.  _V
123120, 121, 122fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u ( ( RR 
_D  F ) `  u ) ) `  x )  =  -u ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
124118, 123sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  = 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
125124eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0  <->  -u (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
12614eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( RR  _D  F
)  <->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
127126biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )
12871ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  ( RR 
_D  F )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  e.  CC )
129127, 128syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
130129negeq0d 9149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0  <->  -u ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  0 ) )
131125, 130bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
132131rexbidva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  =  0  <->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
133132ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
( E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  =  0  <->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
134117, 133mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
135134expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  ( -.  v  e.  { A ,  B }  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
136 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e. 
_V
137136elpr 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  { A ,  B }  <->  ( u  =  A  \/  u  =  B ) )
138 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) )
139138a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  =  A  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
140 rolle.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( F `
 B ) )
141140eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( F `
 A ) )
142 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  B  ->  ( F `  u )  =  ( F `  B ) )
143142eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  B  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  <->  ( F `  B )  =  ( F `  A ) ) )
144141, 143syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  =  B  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
145139, 144jaod 369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( u  =  A  \/  u  =  B )  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
146137, 145syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  u
)  =  ( F `
 A ) ) )
147 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  { A ,  B }  <->  v  e.  { A ,  B }
) )
148100eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  <->  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )
149147, 148imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  u
)  =  ( F `
 A ) )  <-> 
( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) ) )
150149imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `
 u )  =  ( F `  A
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) ) ) )
151150, 146chvarv 1953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) )
152146, 151anim12d 546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B }
)  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) ) )
153152ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B } )  -> 
( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) ) )
1541rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1552rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
156 lbicc2 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
157154, 155, 4, 156syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
158 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  A  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
15931, 157, 158syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
160159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
16193, 160letri3d 8961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) )
162 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  u )  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  A )
) )
163 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  v )  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  v
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) )
164162, 163bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) )
165164bibi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  =  ( F `  A
)  <->  ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  <->  ( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) ) )
166161, 165syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <-> 
( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) ) ) )
167166impancom 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <-> 
( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) ) ) )
168167imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) ) )
169168ralbidva 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) ) )
170 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( A [,] B ) --> RR  ->  F  Fn  ( A [,] B ) )
17131, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A [,] B ) )
172 fnconstg 5429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  A )  e.  RR  ->  (
( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  Fn  ( A [,] B ) )
173159, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } )  Fn  ( A [,] B
) )
174 eqfnfv 5622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  ( A [,] B )  /\  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } )  Fn  ( A [,] B
) )  ->  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  { ( F `
 A ) } ) `  y ) ) )
175171, 173, 174syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) `  y ) ) )
176 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
177176fvconst2 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) `  y )  =  ( F `  A ) )
178177eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F `  y
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } ) `  y
)  <->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) ) )
179178ralbiia 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  =  ( ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } ) `
 y )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
180175, 179syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A ) ) )
181 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A [,] B )  X.  { ( F `
 A ) } )  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) )
182181eqeq2i 2293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  <-> 
F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) ) )
183182biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  ->  F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  A ) ) )
184183oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  ->  ( RR  _D  F )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) ) ) )
185159recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
186185adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  RR )  ->  ( F `
 A )  e.  CC )
187 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
18963, 185dvmptc 19307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  RR  |->  ( F `  A ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  0 ) )
19063, 186, 188, 189, 50, 57, 56, 59dvmptres2 19311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  A ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
191184, 190sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  ( RR  _D  F )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
192191fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 ) `  x
) )
193 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  0  =  0 )
194 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 )  =  ( u  e.  ( A (,) B
)  |->  0 )
195 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
196193, 194, 195fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 ) `  x
)  =  0 )
197192, 196sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } ) )  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
198197ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
199 ioon0 10682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =/=  (/)  <->  A  <  B ) )
200154, 155, 199syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  A  <  B ) )
2013, 200mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =/=  (/) )
202 r19.2z 3543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
203201, 202sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
204198, 203syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
205204ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
206180, 205sylbird 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
207206ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( F `  A )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
208169, 207sylbird 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
209208impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
210153, 209syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B } )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
21126, 135, 210ecased 910 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
212211ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
2139, 212syl5bir 209 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
214213rexlimdvva 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( A [,] B
) E. v  e.  ( A [,] B
) ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
2158, 214mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   intcnt 16754   -cn->ccncf 18380    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  cmvth  19338  lhop1lem  19360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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