MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Structured version   Unicode version

Theorem root1eq1 20639
Description: The only powers of an  N-th root of unity that equal  1 are the multiples of  N. In other words,  -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) has order  N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complexes.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 10069 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
3 nndivre 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
54recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
6 ax-icn 9049 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
7 pire 20372 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
87recni 9102 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
96, 8mulcli 9095 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( _i  x.  pi )  e.  CC )
115, 10mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
12 efexp 12702 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
1311, 12sylancom 649 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
14 zcn 10287 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
16 nncn 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
18 2cn 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
20 nnne0 10032 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
2215, 17, 19, 21div32d 9813 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  2 )  =  ( K  x.  ( 2  /  N ) ) )
2322oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  x.  ( 2  /  N ) )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
2415, 17, 21divcld 9790 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  /  N
)  e.  CC )
2524, 19, 10mulassd 9111 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2615, 5, 10mulassd 9111 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( 2  /  N
) )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2723, 25, 263eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2827fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
29 neg1cn 10067 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
31 ax-1cn 9048 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
32 ax-1ne0 9059 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
3331, 32negne0i 9375 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =/=  0
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
3530, 34, 5cxpefd 20603 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
36 logm1 20483 . . . . . . . 8  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
3736oveq2i 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
3837fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
3935, 38syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
4039oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ^ K ) )
4113, 28, 403eqtr4rd 2479 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
4241eqeq1d 2444 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1 ) )
4318, 9mulcli 9095 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
44 mulcl 9074 . . . 4  |-  ( ( ( K  /  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  e.  CC )
4524, 43, 44sylancl 644 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC )
46 efeq1 20431 . . 3  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  1  <->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
4745, 46syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1  <->  ( (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
486, 18, 8mul12i 9261 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
4948oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
5043a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
51 2ne0 10083 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
52 ine0 9469 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
53 pipos 20373 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
547, 53gt0ne0ii 9563 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
556, 8, 52, 54mulne0i 9665 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  pi )  =/=  0
5618, 9, 51, 55mulne0i 9665 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  =/=  0
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  =/=  0 )
5824, 50, 57divcan4d 9796 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5949, 58syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
6059eleq1d 2502 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
61 nnz 10303 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6261adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
63 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
64 dvdsval2 12855 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6562, 21, 63, 64syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6660, 65bitr4d 248 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  N 
||  K ) )
6742, 47, 663bitrd 271 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    x. cmul 8995   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282   ^cexp 11382   expce 12664   picpi 12669    || cdivides 12852   logclog 20452    ^ c ccxp 20453
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  21048  dchrptlem2  21049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455
  Copyright terms: Public domain W3C validator