MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpaddcld Unicode version

Theorem rpaddcld 10497
Description: Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpaddcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpaddcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpaddcl 10466 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710  (class class class)co 5945    + caddc 8830   RR+crp 10446
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  10872  sqrlem7  11830  rpcoshcl  12534  isosctrlem2  20230  pntrlog2bndlem2  20839  pntrlog2bndlem3  20840  pntrlog2bndlem4  20841  pntibndlem3  20853  pntlema  20857  pntlemb  20858  padicabv  20891  ubthlem2  21564  lgamucov  24071  relgamcl  24095  gamma1  24645  gammacvglem1  24651  gammacvglem2  24652  gammacvglem3  24653  faclimlem1  24654  faclimlem3  24656  faclim  24657  iprodfac  24658  heiborlem6  25863  pell1qrgaplem  26281  pell14qrgapw  26284  wallispilem4  27140  stirlinglem1  27146  stirlinglem5  27150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-rp 10447
  Copyright terms: Public domain W3C validator