MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Unicode version

Theorem rpcnne0d 10589
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 10582 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 10585 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    =/= wne 2550   CCcc 8921   0cc0 8923   RR+crp 10544
This theorem is referenced by:  expcnv  12570  mertenslem1  12588  ovolscalem1  19276  aalioulem2  20117  aalioulem3  20118  dvsqr  20495  cxpcn3lem  20498  divsqrsumlem  20685  logexprlim  20876  chebbnd1lem3  21032  chebbnd1  21033  chtppilimlem1  21034  chtppilimlem2  21035  chebbnd2  21038  chpchtlim  21040  chpo1ub  21041  rplogsumlem1  21045  rplogsumlem2  21046  rpvmasumlem  21048  dchrvmasumlem1  21056  dchrvmasum2lem  21057  dchrvmasumlem2  21059  dchrisum0fno1  21072  dchrisum0lem1b  21076  dchrisum0lem1  21077  dchrisum0lem2a  21078  dchrisum0lem2  21079  dchrisum0lem3  21080  rplogsum  21088  mulogsum  21093  mulog2sumlem1  21095  selberglem1  21106  pntrmax  21125  pntpbnd1a  21146  pntibndlem2  21152  pntlemc  21156  pntlemb  21158  pntlemn  21161  pntlemr  21163  pntlemj  21164  pntlemf  21166  pntlemk  21167  pntlemo  21168  pnt2  21174  bcm1n  23987  rnlogbval  24196  relogbcl  24198  nnlogbexp  24200  jm2.21  26756  stoweidlem25  27442  stoweidlem42  27459  wallispilem4  27485  stirlinglem10  27500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-rp 10545
  Copyright terms: Public domain W3C validator