MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Unicode version

Theorem rpcnne0d 10401
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 10394 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 10397 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686    =/= wne 2448   CCcc 8737   0cc0 8739   RR+crp 10356
This theorem is referenced by:  expcnv  12324  mertenslem1  12342  ovolscalem1  18874  aalioulem2  19715  aalioulem3  19716  dvsqr  20086  cxpcn3lem  20089  divsqrsumlem  20276  logexprlim  20466  chebbnd1lem3  20622  chebbnd1  20623  chtppilimlem1  20624  chtppilimlem2  20625  chebbnd2  20628  chpchtlim  20630  chpo1ub  20631  rplogsumlem1  20635  rplogsumlem2  20636  rpvmasumlem  20638  dchrvmasumlem1  20646  dchrvmasum2lem  20647  dchrisum0fno1  20662  dchrisum0lem1b  20666  dchrisum0lem1  20667  dchrisum0lem2a  20668  dchrisum0lem2  20669  dchrisum0lem3  20670  rplogsum  20678  mulogsum  20683  mulog2sumlem1  20685  selberglem1  20696  pntrmax  20715  pntpbnd1a  20736  pntibndlem2  20742  pntlemc  20746  pntlemb  20748  pntlemn  20751  pntlemr  20753  pntlemj  20754  pntlemf  20756  pntlemk  20757  pntlemo  20758  pnt2  20764  bcm1n  23034  relogbcl  23406  jm2.21  27098  wallispilem4  27828  stirlinglem10  27843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874  df-rp 10357
  Copyright terms: Public domain W3C validator