MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Unicode version

Theorem rpge0d 10394
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpge0 10366 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   0cc0 8737    <_ cle 8868   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  rprege0d  10397  sqrlem5  11732  isumrpcl  12302  isumltss  12307  harmonic  12317  expcnv  12322  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  4sqlem7  12991  nmoi2  18239  reperflem  18323  lebnumii  18464  nmoleub2lem3  18596  nmoleub3  18600  lmnn  18689  minveclem3  18793  pjthlem1  18801  ovoliunlem1  18861  vitalilem4  18966  vitali  18968  itg2const2  19096  itggt0  19196  lhop1lem  19360  plyeq0lem  19592  aalioulem4  19715  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem3  19724  pserdvlem2  19804  abelthlem7  19814  pilem2  19828  pilem3  19829  divlogrlim  19982  logtayllem  20006  cxpge0  20030  divcxp  20034  cxpsqrlem  20049  cxpsqr  20050  abscxpbnd  20093  asinlem3  20167  leibpi  20238  birthdaylem3  20248  rlimcnp3  20262  cxplim  20266  rlimcxp  20268  cxp2limlem  20270  cxp2lim  20271  jensenlem2  20282  amgmlem  20284  emcllem2  20290  emcllem4  20292  emcllem6  20294  fsumharmonic  20305  ftalem3  20312  ftalem5  20314  basellem6  20323  basellem8  20325  chtge0  20350  chtwordi  20394  chpval2  20457  chpchtsum  20458  chpub  20459  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem7  20529  bposlem9  20531  lgsquadlem2  20594  chtppilimlem1  20622  chtppilimlem2  20623  chtppilim  20624  chpchtlim  20628  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisum0lem1a  20635  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  2vmadivsumlem  20689  logdivbnd  20705  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6a  20731  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntibndlem2  20740  pntlemg  20747  pntlemk  20755  pntlem3  20758  pntleml  20760  ostth2lem1  20767  padicabv  20779  ostth2lem3  20784  ostth3  20787  ubthlem2  21450  minvecolem3  21455  minvecolem5  21460  pjhthlem1  21970  sqsscirc1  23292  probmeasb  23633  zetacvg  23689  geomcau  26475  cntotbnd  26520  rrndstprj2  26555  irrapxlem5  26911  pell1qrgaplem  26958  pell14qrgapw  26961  pellqrex  26964  rpexpmord  27033  rmxypos  27034  wallispilem4  27817  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  stirlinglem1  27823  stirlinglem4  27826  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator