MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Unicode version

Theorem rpge0d 10486
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpge0 10458 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   0cc0 8827    <_ cle 8958   RR+crp 10446
This theorem is referenced by:  rprege0d  10489  sqrlem5  11828  isumrpcl  12399  isumltss  12404  harmonic  12414  expcnv  12419  prmreclem5  13064  prmreclem6  13065  4sqlem7  13088  nmoi2  18341  reperflem  18426  lebnumii  18568  nmoleub2lem3  18700  nmoleub3  18704  lmnn  18793  minveclem3  18897  pjthlem1  18905  ovoliunlem1  18965  vitalilem4  19070  vitali  19072  itg2const2  19200  itggt0  19300  lhop1lem  19464  plyeq0lem  19696  aalioulem4  19819  aaliou3lem2  19827  aaliou3lem3  19828  pserdvlem2  19911  abelthlem7  19921  pilem2  19935  pilem3  19936  divlogrlim  20093  logtayllem  20117  cxpge0  20141  divcxp  20145  cxpsqrlem  20160  cxpsqr  20161  abscxpbnd  20204  asinlem3  20278  leibpi  20349  birthdaylem3  20359  rlimcnp3  20373  cxplim  20377  rlimcxp  20379  cxp2limlem  20381  cxp2lim  20382  jensenlem2  20393  amgmlem  20395  emcllem2  20402  emcllem4  20404  emcllem6  20406  fsumharmonic  20417  ftalem3  20424  ftalem5  20426  basellem6  20435  basellem8  20437  chtge0  20462  chtwordi  20506  chpval2  20569  chpchtsum  20570  chpub  20571  bposlem1  20635  bposlem2  20636  bposlem4  20638  bposlem5  20639  bposlem6  20640  bposlem7  20641  bposlem9  20643  lgsquadlem2  20706  chtppilimlem1  20734  chtppilimlem2  20735  chtppilim  20736  chpchtlim  20740  rplogsumlem1  20745  rplogsumlem2  20746  dchrisum0lem1a  20747  rpvmasumlem  20748  dchrisumlema  20749  2vmadivsumlem  20801  logdivbnd  20817  selberg3lem1  20818  selberg3lem2  20819  selberg4lem1  20821  pntrsumbnd2  20828  pntrlog2bndlem1  20838  pntrlog2bndlem2  20839  pntrlog2bndlem3  20840  pntrlog2bndlem4  20841  pntrlog2bndlem5  20842  pntrlog2bndlem6a  20843  pntrlog2bndlem6  20844  pntrlog2bnd  20845  pntibndlem2  20852  pntlemg  20859  pntlemk  20867  pntlem3  20870  pntleml  20872  ostth2lem1  20879  padicabv  20891  ostth2lem3  20896  ostth3  20899  ubthlem2  21564  minvecolem3  21569  minvecolem5  21574  pjhthlem1  22084  sqsscirc1  23462  probmeasb  23937  zetacvg  24048  lgamgulmlem2  24063  lgamgulmlem3  24064  lgamgulmlem5  24066  lgamcvg2  24088  regamcl  24094  gammacvglem1  24651  itggt0cn  25512  geomcau  25799  cntotbnd  25843  rrndstprj2  25878  irrapxlem5  26234  pell1qrgaplem  26281  pell14qrgapw  26284  pellqrex  26287  rpexpmord  26356  rmxypos  26357  wallispilem4  27140  wallispi  27142  wallispi2lem1  27143  stirlinglem1  27146  stirlinglem4  27149  stirlinglem10  27155  stirlinglem11  27156  stirlinglem12  27157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-rp 10447
  Copyright terms: Public domain W3C validator