MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Unicode version

Theorem rpge0d 10641
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpge0 10613 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   0cc0 8979    <_ cle 9110   RR+crp 10601
This theorem is referenced by:  rprege0d  10644  sqrlem5  12040  isumrpcl  12611  isumltss  12616  harmonic  12626  expcnv  12631  prmreclem5  13276  prmreclem6  13277  4sqlem7  13300  nmoi2  18752  reperflem  18837  lebnumii  18979  nmoleub2lem3  19111  nmoleub3  19115  lmnn  19204  minveclem3  19318  pjthlem1  19326  ovoliunlem1  19386  vitalilem4  19491  vitali  19493  itg2const2  19621  itggt0  19721  lhop1lem  19885  plyeq0lem  20117  aalioulem4  20240  aaliou3lem2  20248  aaliou3lem3  20249  pserdvlem2  20332  abelthlem7  20342  pilem2  20356  pilem3  20357  divlogrlim  20514  logtayllem  20538  cxpge0  20562  divcxp  20566  cxpsqrlem  20581  cxpsqr  20582  abscxpbnd  20625  asinlem3  20699  leibpi  20770  birthdaylem3  20780  rlimcnp3  20794  cxplim  20798  rlimcxp  20800  cxp2limlem  20802  cxp2lim  20803  jensenlem2  20814  amgmlem  20816  emcllem2  20823  emcllem4  20825  emcllem6  20827  fsumharmonic  20838  ftalem3  20845  ftalem5  20847  basellem6  20856  basellem8  20858  chtge0  20883  chtwordi  20927  chpval2  20990  chpchtsum  20991  chpub  20992  bposlem1  21056  bposlem2  21057  bposlem4  21059  bposlem5  21060  bposlem6  21061  bposlem7  21062  bposlem9  21064  lgsquadlem2  21127  chtppilimlem1  21155  chtppilimlem2  21156  chtppilim  21157  chpchtlim  21161  rplogsumlem1  21166  rplogsumlem2  21167  dchrisum0lem1a  21168  rpvmasumlem  21169  dchrisumlema  21170  2vmadivsumlem  21222  logdivbnd  21238  selberg3lem1  21239  selberg3lem2  21240  selberg4lem1  21242  pntrsumbnd2  21249  pntrlog2bndlem1  21259  pntrlog2bndlem2  21260  pntrlog2bndlem3  21261  pntrlog2bndlem4  21262  pntrlog2bndlem5  21263  pntrlog2bndlem6a  21264  pntrlog2bndlem6  21265  pntrlog2bnd  21266  pntibndlem2  21273  pntlemg  21280  pntlemk  21288  pntlem3  21291  pntleml  21293  ostth2lem1  21300  padicabv  21312  ostth2lem3  21317  ostth3  21320  ubthlem2  22361  minvecolem3  22366  minvecolem5  22371  pjhthlem1  22881  sqsscirc1  24294  zetacvg  24787  lgamgulmlem2  24802  lgamgulmlem3  24803  lgamgulmlem5  24805  lgamcvg2  24827  regamcl  24833  itggt0cn  26223  geomcau  26402  cntotbnd  26442  rrndstprj2  26477  irrapxlem5  26826  pell1qrgaplem  26873  pell14qrgapw  26876  pellqrex  26879  rpexpmord  26948  rmxypos  26949  stoweidlem3  27666  stoweidlem26  27689  wallispilem4  27731  wallispi  27733  wallispi2lem1  27734  stirlinglem1  27737  stirlinglem4  27740  stirlinglem10  27746  stirlinglem11  27747  stirlinglem12  27748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-rp 10602
  Copyright terms: Public domain W3C validator