MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecld Unicode version

Theorem rpgecld 10608
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
rpgecld.3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
Assertion
Ref Expression
rpgecld  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
2 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 rpgecld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
4 rpgecl 10562 . 2  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  A  e.  RR  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   RRcr 8915    <_ cle 9047   RR+crp 10537
This theorem is referenced by:  rlimno1  12367  isumrpcl  12543  divlogrlim  20386  logno1  20387  chprpcl  20851  vmadivsumb  21037  vmalogdivsum2  21092  vmalogdivsum  21093  2vmadivsumlem  21094  selbergb  21103  selberg2b  21106  selberg3lem2  21112  selberg3  21113  selberg4lem1  21114  selberg4  21115  selberg3r  21123  selberg4r  21124  selberg34r  21125  pntrlog2bndlem1  21131  pntrlog2bndlem2  21132  pntrlog2bndlem3  21133  pntrlog2bndlem4  21134  pntrlog2bndlem5  21135  pntrlog2bndlem6a  21136  pntrlog2bndlem6  21137  pntrlog2bnd  21138  pntibndlem2  21145  pntlemb  21151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-rp 10538
  Copyright terms: Public domain W3C validator