MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Unicode version

Theorem rphalfcld 10418
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rphalfcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rphalfcl 10394 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  nnesq  11241  rlimuni  12040  climuni  12042  reccn2  12086  iseralt  12173  mertenslem1  12356  mertenslem2  12357  ege2le3  12387  rpcoshcl  12453  sqr2irrlem  12542  4sqlem7  13007  ssblex  17990  methaus  18082  met2ndci  18084  nlmvscnlem2  18212  nlmvscnlem1  18213  nrginvrcnlem  18217  reperflem  18339  icccmplem2  18344  metdcnlem  18357  metnrmlem2  18380  metnrmlem3  18381  ipcnlem2  18687  ipcnlem1  18688  minveclem3  18809  ovollb2lem  18863  ovolunlem2  18873  itg2cnlem2  19133  itg2cn  19134  lhop1lem  19376  lhop1  19377  aaliou2b  19737  ulmcn  19792  pserdvlem1  19819  pserdv  19821  cxpcn3lem  20103  ftalem2  20327  bposlem7  20545  bposlem9  20547  lgsquadlem2  20610  chebbnd1lem2  20635  pntibndlem3  20757  pntibnd  20758  pntlemr  20767  lt2addrd  23264  tpr2rico  23311  dmse1  25706  iintlem1  25713  sstotbnd2  26601  stirlinglem1  27926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator