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Theorem rplogsumlem2 20628
Description: Lemma for rplogsum 20670. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem rplogsumlem2
StepHypRef Expression
1 flid 10933 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  =  A )
21oveq2d 5835 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... A
) )
32sumeq1d 12168 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... A ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n ) )
4 fveq2 5485 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  n )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
5 eleq1 2344 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( p ^ k )  e. 
Prime ) )
6 fveq2 5485 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  (
p ^ k ) ) )
7 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  0  =  0 )
85, 6, 7ifbieq12d 3588 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )
94, 8oveq12d 5837 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) ) )
10 id 21 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  n  =  ( p ^
k ) )
119, 10oveq12d 5837 . . . 4  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )
12 zre 10023 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
13 elfznn 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
1413adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
15 vmacl 20350 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1614, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1714nnrpd 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1817relogcld 19968 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
19 0re 8833 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
20 ifcl 3602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2118, 19, 20sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2216, 21resubcld 9206 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  e.  RR )
2322, 14nndivred 9789 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  RR )
2423recnd 8856 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  CC )
25 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
(Λ `  n )  =  0 )
26 vmaprm 20349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =  ( log `  n ) )
27 prmnn 12755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2827nnred 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  RR )
29 prmuz2 12770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 eluz2b2 10285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) )
3130simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  n )
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  1  < 
n )
3328, 32rplogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
3426, 33eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  e.  RR+ )
3534rpne0d 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =/=  0 )
3635necon2bi 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Λ `  n )  =  0  ->  -.  n  e.  Prime )
3736ad2antll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  -.  n  e.  Prime )
38 iffalse 3573 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
4025, 39oveq12d 5837 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
41 0cn 8826 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
4241subidi 9112 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4340, 42syl6eq 2332 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  0 )
4443oveq1d 5834 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  ( 0  /  n
) )
4513ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  NN )
4645nnrpd 10384 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  RR+ )
4746rpcnne0d 10394 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
48 div0 9447 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
4947, 48syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
5044, 49eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  0 )
5111, 12, 24, 50fsumvma2 20447 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
523, 51eqtr3d 2318 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
53 fzfid 11029 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  e.  Fin )
54 inss2 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  Prime
55 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
5654, 55sseldi 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
57 prmnn 12755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
5958nnred 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
6012adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR )
61 zcn 10024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
6261abscld 11912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
63 peano2re 8980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
6564adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
66 inss1 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  (
0 [,] A )
6766sseli 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i 
Prime )  ->  p  e.  ( 0 [,] A
) )
68 elicc2 10709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( p  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
6919, 12, 68sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A
) ) )
7067, 69syl5ib 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  (
p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
7170imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) )
7271simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  A )
7361adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  CC )
7473abscld 11912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
7560leabsd 11891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
7674lep1d 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7760, 74, 65, 75, 76letrd 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7859, 60, 65, 72, 77letrd 8968 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
79 prmuz2 12770 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8056, 79syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
81 nn0abscl 11791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )
82 nn0p1nn 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  +  1 )  e.  NN )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN )
8483nnzd 10111 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
8584adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
86 elfz5 10784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8780, 85, 86syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8878, 87mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8988ex 425 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
9089ssrdv 3186 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
91 ssfi 7078 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) 
C_  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
9253, 90, 91syl2anc 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
93 fzfid 11029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
94 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
9554, 94sseldi 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
96 elfznn 10813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
9796ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
98 vmappw 20348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
9995, 97, 98syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  p
) )
10058adantrr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
101100nnrpd 10384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  RR+ )
102101relogcld 19968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
10399, 102eqeltrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  e.  RR )
10497nnnn0d 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
105 nnexpcl 11110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
106100, 104, 105syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
107106nnrpd 10384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  RR+ )
108107relogcld 19968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR )
109 ifcl 3602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( ( p ^ k )  e. 
Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 )  e.  RR )
110108, 19, 109sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  e.  RR )
111103, 110resubcld 9206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  e.  RR )
112111, 106nndivred 9789 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  RR )
113112anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11493, 113fsumrecl 12201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
11592, 114fsumrecl 12201 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11658nnrpd 10384 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
117116relogcld 19968 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
118 uz2m1nn 10287 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( p  -  1 )  e.  NN )
11980, 118syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
12058, 119nnmulcld 9788 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
121117, 120nndivred 9789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
12292, 121fsumrecl 12201 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
123 2re 9810 . . . 4  |-  2  e.  RR
124123a1i 12 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
12519a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  e.  RR )
12658nngt0d 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  p )
127125, 59, 60, 126, 72ltletrd 8971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  A )
12860, 127elrpd 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR+ )
129128relogcld 19968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  A
)  e.  RR )
130 eluz2b2 10285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
131130simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
13279, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
13356, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <  p )
13459, 133rplogcld 19974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
135129, 134rerpdivcld 10412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR )
136134rpcnd 10387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  CC )
137136mulid2d 8848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  =  ( log `  p
) )
138116, 128logled 19972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  <_  A  <->  ( log `  p )  <_  ( log `  A
) ) )
13972, 138mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  <_  ( log `  A ) )
140137, 139eqbrtrd 4044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  <_  ( log `  A
) )
141 1re 8832 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
142141a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  RR )
143142, 129, 134lemuldivd 10430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  x.  ( log `  p
) )  <_  ( log `  A )  <->  1  <_  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
144140, 143mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <_  ( ( log `  A )  / 
( log `  p
) ) )
145 flge1nn 10943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR  /\  1  <_ 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
146135, 144, 145syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
147 nnuz 10258 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
148146, 147syl6eleq 2374 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
149112recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  CC )
150149anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
151 oveq2 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
p ^ k )  =  ( p ^
1 ) )
152151fveq2d 5489 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  (Λ `  ( p ^ 1 ) ) )
153151eleq1d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( p ^ k
)  e.  Prime  <->  ( p ^ 1 )  e. 
Prime ) )
154151fveq2d 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  ( log `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
155 eqidd 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  0  =  0 )
156153, 154, 155ifbieq12d 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )
157152, 156oveq12d 5837 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) ) )
158157, 151oveq12d 5837 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) ) )
159148, 150, 158fsum1p 12212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) ) )
16058nncnd 9757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  CC )
161160exp1d 11234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  =  p )
162161fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  (Λ `  p )
)
163 vmaprm 20349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  (Λ `  p
)  =  ( log `  p ) )
16456, 163syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  p )  =  ( log `  p
) )
165162, 164eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  ( log `  p
) )
166161, 56eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  e.  Prime )
167 iftrue 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ^ 1 )  e.  Prime  ->  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
169161fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  (
p ^ 1 ) )  =  ( log `  p ) )
170168, 169eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  p
) )
171165, 170oveq12d 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) ) )
172136subidd 9140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) )  =  0 )
173171, 172eqtrd 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
174173, 161oveq12d 5837 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  ( 0  /  p
) )
175116rpcnne0d 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )
176 div0 9447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
177175, 176syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
178174, 177eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  0 )
179 1p1e2 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
180179oveq1i 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
181180a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) )
182 elfzuz 10788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
183 eluz2b2 10285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
184183simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
185182, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
186185, 180eleq2s 2376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
18756, 186, 98syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
18858adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
189 nnq 10324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  QQ )
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  QQ )
191182, 180eleq2s 2376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
192191adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
193 expnprm 12944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
194190, 192, 193syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
195 iffalse 3573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p ^ k
)  e.  Prime  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
197187, 196oveq12d 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p )  -  0 ) )
198136subid1d 9141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
199198adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
200197, 199eqtrd 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( log `  p ) )
201200oveq1d 5834 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
202181, 201sumeq12dv 12173 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
203178, 202oveq12d 5837 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )  =  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) ) )
204 fzfid 11029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
205117adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  RR )
206 nnnn0 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
20758, 206, 105syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  NN )
208205, 207nndivred 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
209185, 208sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
210204, 209fsumrecl 12201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
211210recnd 8856 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
212211addid2d 9008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )
213159, 203, 2123eqtrd 2320 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
214116rpreccld 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR+ )
215135flcld 10924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ZZ )
216215peano2zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ZZ )
217214, 216rpexpcld 11262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
218217rpge0d 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
21958nnrecred 9786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR )
220219resqcld 11265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  e.  RR )
221146peano2nnd 9758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  NN )
222221nnnn0d 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
223219, 222reexpcld 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
224220, 223subge02d 9359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  p ) ^ 2 ) ) )
225218, 224mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  p ) ^
2 ) )
226119nnrpd 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  RR+ )
227226rpcnne0d 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )
228214rpcnd 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  CC )
229 dmdcan 9465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 )  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  (
1  /  p )  e.  CC )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
230227, 175, 228, 229syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
231142recnd 8856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  CC )
232 divsubdir 9451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )  ->  ( ( p  -  1 )  /  p )  =  ( ( p  /  p
)  -  ( 1  /  p ) ) )
233160, 231, 175, 232syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( ( p  /  p )  -  ( 1  /  p ) ) )
234 divid 9446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
235175, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
236235oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  /  p )  -  (
1  /  p ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
237233, 236eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
238 divdiv1 9466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  ( ( p  -  1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
239231, 175, 227, 238syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
240237, 239oveq12d 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) )
24158nnne0d 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  =/=  0 )
242228, 160, 241divrecd 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
243228sqvald 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
244242, 243eqtr4d 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
245230, 240, 2443eqtr3d 2324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  /  p
) )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
246225, 245breqtrrd 4050 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
247220, 223resubcld 9206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
248120nnrecred 9786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
249 resubcl 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  p
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  /  p
) )  e.  RR )
250141, 219, 249sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR )
251 recgt1 9647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  RR  /\  0  <  p )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
25259, 126, 251syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
253133, 252mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  <  1 )
254 posdif 9262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
255219, 141, 254sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
256253, 255mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
257 ledivmul 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
258247, 248, 250, 256, 257syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
259246, 258mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
260250, 256elrpd 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR+ )
261247, 260rerpdivcld 10412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  e.  RR )
262261, 248, 134lemul2d 10425 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  ( ( log `  p )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) ) )
263259, 262mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  (
( log `  p
)  x.  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
264136adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  CC )
265207nncnd 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  CC )
266207nnne0d 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  =/=  0 )
267264, 265, 266divrecd 9534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
268160adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  CC )
26958adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  NN )
270269nnne0d 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  =/=  0 )
271 nnz 10040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
272271adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
273268, 270, 272exprecd 11247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( p ^
k ) ) )
274273oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  x.  ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
275267, 274eqtr4d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
276185, 275sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
277276sumeq2dv 12170 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
278185nnnn0d 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
279 expcl 11115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ k
)  e.  CC )
280228, 278, 279syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  p
) ^ k )  e.  CC )
281204, 136, 280fsummulc2 12240 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
282 fzval3 10905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ZZ  ->  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
283215, 282syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
284283sumeq1d 12168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
) )
285219, 253ltned 8950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  =/=  1 )
286 2nn0 9977 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
287286a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
2  e.  NN0 )
288 eluzp1p1 10248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
289148, 288syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
290 df-2 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
291290fveq2i 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
292289, 291syl6eleqr 2375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
293228, 285, 287, 292geoserg 12318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )
294284, 293eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
295294oveq2d 5835 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) ) )
296277, 281, 2953eqtr2d 2322 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) ) )
297120nncnd 9757 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  CC )
298120nnne0d 9785 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  =/=  0 )
299136, 297, 298divrecd 9534 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) ) )
300263, 296, 2993brtr4d 4054 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
301213, 300eqbrtrd 4044 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
30292, 114, 121, 301fsumle 12251 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
303 elfzuz 10788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
304130simplbi 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  p  e.  NN )
305303, 304syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  NN )
306305adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  NN )
307306nnred 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  RR )
308303adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
309308, 131syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
1  <  p )
310307, 309rplogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
311308, 118syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
312306, 311nnmulcld 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
313312nnrpd 10384 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  RR+ )
314310, 313rpdivcld 10402 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
315314rpred 10385 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
31653, 315fsumrecl 12201 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
317314rpge0d 10389 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
31853, 315, 317, 90fsumless 12248 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  sum_ p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
319 rplogsumlem1 20627 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
32083, 319syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
321122, 316, 124, 318, 320letrd 8968 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  2 )
322115, 122, 124, 302, 321letrd 8968 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  2 )
32352, 322eqbrtrd 4044 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ifcif 3566   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Fincfn 6858   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   QQcq 10311   RR+crp 10349   [,]cicc 10653   ...cfz 10776  ..^cfzo 10864   |_cfl 10918   ^cexp 11098   abscabs 11713   sum_csu 12152   Primecprime 12752   logclog 19906  Λcvma 20323
This theorem is referenced by:  rplogsum  20670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-tan 12347  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-prm 12753  df-pc 12884  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-cxp 19909  df-vma 20329
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