MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Unicode version

Theorem rpmulcl 10377
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10362 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpre 10362 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3 remulcl 8824 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
5 elrp 10358 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6 elrp 10358 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
7 mulgt0 8902 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
85, 6, 7syl2anb 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  x.  B
) )
9 elrp 10358 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
104, 8, 9sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739    x. cmul 8744    < clt 8869   RR+crp 10356
This theorem is referenced by:  rpmulcld  10408  moddi  11009  rpexpcl  11124  discr  11240  reccn2  12072  expcnv  12324  rpmsubg  16437  ovolscalem2  18875  aaliou3lem7  19731  aaliou3lem9  19732  cosordlem  19895  logfac  19956  loglesqr  20100  divsqrsumlem  20276  basellem1  20320  pclogsum  20456  bclbnd  20521  bposlem7  20531  bposlem8  20532  bposlem9  20533  chebbnd1lem2  20621  dchrisum0lem3  20670  chpdifbndlem2  20705  pntrsumbnd2  20718  pntpbnd1a  20736  pntpbnd2  20738  pntibnd  20744  pntlemd  20745  pntlema  20747  pntlemb  20748  pntlemf  20756  pntlemo  20758  minvecolem3  21457  isbnd2  26518  wallispilem4  27828  wallispi  27830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874  df-rp 10357
  Copyright terms: Public domain W3C validator