MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Unicode version

Theorem rpmulcl 10343
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10328 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpre 10328 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3 remulcl 8790 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
5 elrp 10324 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6 elrp 10324 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
7 mulgt0 8868 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
85, 6, 7syl2anb 467 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  x.  B
) )
9 elrp 10324 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
104, 8, 9sylanbrc 648 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3997  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705    x. cmul 8710    < clt 8835   RR+crp 10322
This theorem is referenced by:  rpmulcld  10374  moddi  10974  rpexpcl  11089  discr  11205  reccn2  12036  expcnv  12285  rpmsubg  16398  ovolscalem2  18836  aaliou3lem7  19692  aaliou3lem9  19693  cosordlem  19856  logfac  19917  loglesqr  20061  divsqrsumlem  20237  basellem1  20281  pclogsum  20417  bclbnd  20482  bposlem7  20492  bposlem8  20493  bposlem9  20494  chebbnd1lem2  20582  dchrisum0lem3  20631  chpdifbndlem2  20666  pntrsumbnd2  20679  pntpbnd1a  20697  pntpbnd2  20699  pntibnd  20705  pntlemd  20706  pntlema  20708  pntlemb  20709  pntlemf  20717  pntlemo  20719  minvecolem3  21416  isbnd2  25875  wallispilem4  27186  wallispi  27188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-rp 10323
  Copyright terms: Public domain W3C validator