MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Unicode version

Theorem rpmulcl 10307
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10292 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpre 10292 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3 remulcl 8755 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
5 elrp 10288 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6 elrp 10288 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
7 mulgt0 8833 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
85, 6, 7syl2anb 467 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  x.  B
) )
9 elrp 10288 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
104, 8, 9sylanbrc 648 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3963  (class class class)co 5757   RRcr 8669   0cc0 8670    x. cmul 8675    < clt 8800   RR+crp 10286
This theorem is referenced by:  rpmulcld  10338  moddi  10938  rpexpcl  11053  discr  11169  reccn2  12000  expcnv  12249  rpmsubg  16362  ovolscalem2  18800  aaliou3lem7  19656  aaliou3lem9  19657  cosordlem  19820  logfac  19881  loglesqr  20025  divsqrsumlem  20201  basellem1  20245  pclogsum  20381  bclbnd  20446  bposlem7  20456  bposlem8  20457  bposlem9  20458  chebbnd1lem2  20546  dchrisum0lem3  20595  chpdifbndlem2  20630  pntrsumbnd2  20643  pntpbnd1a  20661  pntpbnd2  20663  pntibnd  20669  pntlemd  20670  pntlema  20672  pntlemb  20673  pntlemf  20681  pntlemo  20683  minvecolem3  21380  isbnd2  25839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-ltxr 8805  df-rp 10287
  Copyright terms: Public domain W3C validator