MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Unicode version

Theorem rpmulcld 10359
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpmulcl 10328 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621  (class class class)co 5778    x. cmul 8696   RR+crp 10307
This theorem is referenced by:  reccn2  12021  eirrlem  12430  nrginvrcnlem  18149  ovolscalem1  18820  itg2gt0  19063  aaliou3lem1  19670  aaliou3lem2  19671  aaliou3lem8  19673  cosordlem  19841  logcnlem2  19938  cxp2limlem  20218  lgsquadlem2  20542  chtppilimlem1  20570  chtppilim  20572  chebbnd2  20574  chto1lb  20575  rplogsumlem1  20581  dchrvmasumlem1  20592  chpdifbndlem1  20650  chpdifbndlem2  20651  selberg3lem1  20654  selberg4lem1  20657  selberg4  20658  pntrlog2bndlem2  20675  pntrlog2bndlem3  20676  pntrlog2bndlem4  20677  pntrlog2bndlem5  20678  pntpbnd2  20684  pntlemd  20691  pntlema  20693  pntlemb  20694  pntlemq  20698  pntlemr  20699  pntlemj  20700  pntlemf  20702  pntlemo  20704  pntlem3  20706  pntleml  20708  pnt  20711  rrndstprj2  25908  pellfund14  26336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826  df-rp 10308
  Copyright terms: Public domain W3C validator