MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Unicode version

Theorem rpmulcld 10422
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpmulcl 10391 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874    x. cmul 8758   RR+crp 10370
This theorem is referenced by:  reccn2  12086  eirrlem  12498  nrginvrcnlem  18217  ovolscalem1  18888  itg2gt0  19131  aaliou3lem1  19738  aaliou3lem2  19739  aaliou3lem8  19741  cosordlem  19909  logcnlem2  20006  cxp2limlem  20286  lgsquadlem2  20610  chtppilimlem1  20638  chtppilim  20640  chebbnd2  20642  chto1lb  20643  rplogsumlem1  20649  dchrvmasumlem1  20660  chpdifbndlem1  20718  chpdifbndlem2  20719  selberg3lem1  20722  selberg4lem1  20725  selberg4  20726  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntpbnd2  20752  pntlemd  20759  pntlema  20761  pntlemb  20762  pntlemq  20766  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  pntlemo  20772  pntlem3  20774  pntleml  20776  pnt  20779  rrndstprj2  26658  pellfund14  27086  wallispilem3  27919  wallispilem4  27920  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  stirlinglem2  27927  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem6  27931  stirlinglem7  27932  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940  stirlingr  27942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-rp 10371
  Copyright terms: Public domain W3C validator