MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Unicode version

Theorem rpmulcld 10402
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpmulcl 10371 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1685  (class class class)co 5820    x. cmul 8738   RR+crp 10350
This theorem is referenced by:  reccn2  12065  eirrlem  12477  nrginvrcnlem  18196  ovolscalem1  18867  itg2gt0  19110  aaliou3lem1  19717  aaliou3lem2  19718  aaliou3lem8  19720  cosordlem  19888  logcnlem2  19985  cxp2limlem  20265  lgsquadlem2  20589  chtppilimlem1  20617  chtppilim  20619  chebbnd2  20621  chto1lb  20622  rplogsumlem1  20628  dchrvmasumlem1  20639  chpdifbndlem1  20697  chpdifbndlem2  20698  selberg3lem1  20701  selberg4lem1  20704  selberg4  20705  pntrlog2bndlem2  20722  pntrlog2bndlem3  20723  pntrlog2bndlem4  20724  pntrlog2bndlem5  20725  pntpbnd2  20731  pntlemd  20738  pntlema  20740  pntlemb  20741  pntlemq  20745  pntlemr  20746  pntlemj  20747  pntlemf  20749  pntlemo  20751  pntlem3  20753  pntleml  20755  pnt  20758  rrndstprj2  25955  pellfund14  26383  wallispilem3  27216  wallispilem4  27217  wallispi  27219  wallispi2lem1  27220  stirlinglem2  27224  stirlinglem3  27225  stirlinglem4  27226  stirlinglem6  27228  stirlinglem7  27229  stirlinglem10  27232  stirlinglem11  27233  stirlinglem12  27234  stirlinglem13  27235  stirlinglem14  27236  stirlinglem15  27237  stirlingr  27239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-rp 10351
  Copyright terms: Public domain W3C validator