MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Unicode version

Theorem rpmulcld 10653
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 rpmulcl 10622 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6072    x. cmul 8984   RR+crp 10601
This theorem is referenced by:  reccn2  12378  eirrlem  12791  nrginvrcnlem  18714  ovolscalem1  19397  itg2gt0  19640  aaliou3lem1  20247  aaliou3lem2  20248  aaliou3lem8  20250  cosordlem  20421  logcnlem2  20522  cxp2limlem  20802  lgsquadlem2  21127  chtppilimlem1  21155  chtppilim  21157  chebbnd2  21159  chto1lb  21160  rplogsumlem1  21166  dchrvmasumlem1  21177  chpdifbndlem1  21235  chpdifbndlem2  21236  selberg3lem1  21239  selberg4lem1  21242  selberg4  21243  pntrlog2bndlem2  21260  pntrlog2bndlem3  21261  pntrlog2bndlem4  21262  pntrlog2bndlem5  21263  pntpbnd2  21269  pntlemd  21276  pntlema  21278  pntlemb  21279  pntlemq  21283  pntlemr  21284  pntlemj  21285  pntlemf  21287  pntlemo  21289  pntlem3  21291  pntleml  21293  pnt  21296  lgamgulmlem3  24803  lgamgulmlem4  24804  lgamgulmlem5  24805  lgamgulmlem6  24806  faclimlem1  25351  faclimlem3  25353  faclim  25354  rrndstprj2  26477  pellfund14  26898  wallispilem3  27730  wallispilem4  27731  wallispi  27733  wallispi2lem1  27734  stirlinglem2  27738  stirlinglem3  27739  stirlinglem4  27740  stirlinglem6  27742  stirlinglem7  27743  stirlinglem10  27746  stirlinglem11  27747  stirlinglem12  27748  stirlinglem13  27749  stirlinglem14  27750  stirlinglem15  27751  stirlingr  27753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-ltxr 9114  df-rp 10602
  Copyright terms: Public domain W3C validator