MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem rpnnen2lem1 12816
Description: Lemma for rpnnen2 12827. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  N )  =  if ( N  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    F( x, n)    N( x)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 10008 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21elpw2 4366 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  <->  A  C_  NN )
3 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  A ) )
43ifbid 3759 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
54mpteq2dv 4298 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
6 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
71mptex 5968 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5808 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  ->  ( F `  A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
92, 8sylbir 206 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
109fveq1d 5732 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( ( F `  A ) `
 N )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) `
 N ) )
11 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  A  <->  N  e.  A ) )
12 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) )
13 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  0  =  0 )
1411, 12, 13ifbieq12d 3763 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 ) )
15 eqid 2438 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
16 ovex 6108 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ N )  e. 
_V
17 c0ex 9087 . . . 4  |-  0  e.  _V
1816, 17ifex 3799 . . 3  |-  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 )  e.  _V
1914, 15, 18fvmpt 5808 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) `  N
)  =  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 ) )
2010, 19sylan9eq 2490 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  N )  =  if ( N  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ifcif 3741   ~Pcpw 3801    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    / cdiv 9679   NNcn 10002   3c3 10052   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  12818  rpnnen2lem4  12819  rpnnen2lem9  12824  rpnnen2lem10  12825  rpnnen2lem11  12826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-nn 10003
  Copyright terms: Public domain W3C validator