MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Unicode version

Theorem rpnnen2lem1 12701
Description: Lemma for rpnnen2 12712. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  N )  =  if ( N  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    F( x, n)    N( x)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 9899 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21elpw2 4277 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  <->  A  C_  NN )
3 eleq2 2427 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  x  <->  n  e.  A ) )
43ifbid 3672 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
54mpteq2dv 4209 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
6 rpnnen2.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ~P NN  |->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  x ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
71mptex 5866 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt 5709 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P NN  ->  ( F `  A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) )
92, 8sylbir 204 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( F `
 A )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) )
109fveq1d 5634 . 2  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( ( F `  A ) `
 N )  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3
) ^ n ) ,  0 ) ) `
 N ) )
11 eleq1 2426 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  A  <->  N  e.  A ) )
12 oveq2 5989 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( 1  /  3
) ^ n )  =  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) )
13 eqidd 2367 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  0  =  0 )
1411, 12, 13ifbieq12d 3676 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 )  =  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 ) )
15 eqid 2366 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ n
) ,  0 ) )
16 ovex 6006 . . . 4  |-  ( ( 1  /  3 ) ^ N )  e. 
_V
17 c0ex 8979 . . . 4  |-  0  e.  _V
1816, 17ifex 3712 . . 3  |-  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 )  e.  _V
1914, 15, 18fvmpt 5709 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^
n ) ,  0 ) ) `  N
)  =  if ( N  e.  A , 
( ( 1  / 
3 ) ^ N
) ,  0 ) )
2010, 19sylan9eq 2418 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( F `  A
) `  N )  =  if ( N  e.  A ,  ( ( 1  /  3 ) ^ N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    C_ wss 3238   ifcif 3654   ~Pcpw 3714    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0cc0 8884   1c1 8885    / cdiv 9570   NNcn 9893   3c3 9943   ^cexp 11269
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  12703  rpnnen2lem4  12704  rpnnen2lem9  12709  rpnnen2lem10  12710  rpnnen2lem11  12711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-nn 9894
  Copyright terms: Public domain W3C validator