MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Unicode version

Theorem rpvmasum 21088
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers  n  ==  A (mod  N) is asymptotic to  log x  /  phi ( x )  +  O ( 1 ). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
rpvmasum.b  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
rpvmasum.t  |-  T  =  ( `' L " { A } )
Assertion
Ref Expression
rpvmasum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N, x    ph, n, x    T, n, x    U, n, x    n, Z, x   
n, L, x    A, n

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables  m  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  N  e.  NN )
5 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DChr `  N )  =  (DChr `  N )
6 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (DChr `  N )
)  =  ( Base `  (DChr `  N )
)
7 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  (DChr `  N
) )  =  ( 0g `  (DChr `  N ) )
8 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
98fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( y `  ( L `  n )
) )
10 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
119, 10oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( y `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
1211cbvsumv 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )
1312eqeq1i 2395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `  n ) )  /  n )  =  0 )
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  sum_ n  e.  NN  (
( y `  ( L `  n )
)  /  n )  =  0 ) )
1514rabbiia 2890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ n  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  0 }
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  f  e.  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 15, 16dchrisum0 21082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( ph  /\  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1817imnani 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  f  e.  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
1918eq0rdv 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }  =  (/) )
2019fveq2d 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  (
# `  (/) ) )
21 hash0 11574 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  (/) )  =  0
2220, 21syl6eq 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  =  0 )
2322oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  ( 1  -  0 ) )
24 ax-1cn 8982 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2524subid1i 9305 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2623, 25syl6eq 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2726adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) )  =  1 )
2827oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( ( log `  x )  x.  1 ) )
29 relogcl 20341 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3029adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3130recnd 9048 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
3231mulid1d 9039 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  1 )  =  ( log `  x ) )
3328, 32eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 } ) ) )  =  ( log `  x ) )
3433oveq2d 6037 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) )
3534mpteq2dva 4237 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  T
) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
36 eqid 2388 . . 3  |-  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N )
)  \  { ( 0g `  (DChr `  N
) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( ( Base `  (DChr `  N ) )  \  { ( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 }
37 rpvmasum.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
38 rpvmasum.b . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
39 rpvmasum.t . . 3  |-  T  =  ( `' L " { A } )
4017pm2.21i 125 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )  ->  A  =  ( 1r `  Z ) )
411, 2, 3, 5, 6, 7, 36, 37, 38, 39, 40rpvmasum2 21074 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  (
( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  {
y  e.  ( (
Base `  (DChr `  N
) )  \  {
( 0g `  (DChr `  N ) ) } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } ) ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
4235, 41eqeltrrd 2463 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i 
T ) ( (Λ `  n )  /  n
) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    \ cdif 3261    i^i cin 3263   (/)c0 3572   {csn 3758    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   "cima 4822   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    x. cmul 8929    - cmin 9224    / cdiv 9610   NNcn 9933   RR+crp 10545   ...cfz 10976   |_cfl 11129   #chash 11546   O ( 1 )co1 12208   sum_csu 12407   phicphi 13081   Basecbs 13397   0gc0g 13651   1rcur 15590  Unitcui 15672   ZRHomczrh 16702  ℤ/nczn 16705   logclog 20320  Λcvma 20742  DChrcdchr 20884
This theorem is referenced by:  rplogsum  21089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-rpss 6459  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-word 11651  df-concat 11652  df-s1 11653  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-o1 12212  df-lo1 12213  df-sum 12408  df-ef 12598  df-e 12599  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-prm 13008  df-numer 13055  df-denom 13056  df-phi 13083  df-pc 13139  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-divs 13663  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-nsg 14870  df-eqg 14871  df-ghm 14932  df-gim 14974  df-ga 14995  df-cntz 15044  df-oppg 15070  df-od 15095  df-gex 15096  df-pgp 15097  df-lsm 15198  df-pj1 15199  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-cyg 15416  df-dprd 15484  df-dpj 15485  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-rnghom 15747  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-lidl 16174  df-rsp 16175  df-2idl 16231  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-zrh 16706  df-zn 16709  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-0p 19430  df-limc 19621  df-dv 19622  df-ply 19975  df-idp 19976  df-coe 19977  df-dgr 19978  df-quot 20076  df-log 20322  df-cxp 20323  df-em 20699  df-cht 20747  df-vma 20748  df-chp 20749  df-ppi 20750  df-mu 20751  df-dchr 20885
  Copyright terms: Public domain W3C validator