MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruc Unicode version

Theorem ruc 12483
Description: The set of natural numbers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 12471 through ruclem13 12482 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 12482 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see http://us.metamath.org/mpegif/mmcomplex.html#uncountable. For an alternate proof see rucALT 12470. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ruc  |-  NN  ~<  RR

Proof of Theorem ruc
StepHypRef Expression
1 reex 8796 . . 3  |-  RR  e.  _V
2 nnssre 9718 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 ssdomg 6875 . . 3  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( NN  C_  RR  ->  NN  ~<_  RR ) )
41, 2, 3mp2 19 . 2  |-  NN  ~<_  RR
5 ruclem13 12482 . . . . 5  |-  -.  f : NN -onto-> RR
6 f1ofo 5417 . . . . 5  |-  ( f : NN -1-1-onto-> RR  ->  f : NN -onto-> RR )
75, 6mto 169 . . . 4  |-  -.  f : NN -1-1-onto-> RR
87nex 1587 . . 3  |-  -.  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR
9 bren 6839 . . 3  |-  ( NN 
~~  RR  <->  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR )
108, 9mtbir 292 . 2  |-  -.  NN  ~~  RR
11 brsdom 6852 . 2  |-  ( NN 
~<  RR  <->  ( NN  ~<_  RR  /\  -.  NN  ~~  RR ) )
124, 10, 11mpbir2an 891 1  |-  NN  ~<  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5   E.wex 1537    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   -onto->wfo 4671   -1-1-onto->wf1o 4672    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829    ~< csdm 6830   RRcr 8704   NNcn 9714
This theorem is referenced by:  resdomq  12484  aleph1re  12485  aleph1irr  12486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-fz 10749  df-seq 11013
  Copyright terms: Public domain W3C validator