MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruc Unicode version

Theorem ruc 12516
Description: The set of natural numbers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 12504 through ruclem13 12515 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 12515 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see http://us.metamath.org/mpegif/mmcomplex.html#uncountable. For an alternate proof see rucALT 12503. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ruc  |-  NN  ~<  RR

Proof of Theorem ruc
StepHypRef Expression
1 reex 8824 . . 3  |-  RR  e.  _V
2 nnssre 9746 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 ssdomg 6903 . . 3  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( NN  C_  RR  ->  NN  ~<_  RR ) )
41, 2, 3mp2 19 . 2  |-  NN  ~<_  RR
5 ruclem13 12515 . . . . 5  |-  -.  f : NN -onto-> RR
6 f1ofo 5445 . . . . 5  |-  ( f : NN -1-1-onto-> RR  ->  f : NN -onto-> RR )
75, 6mto 169 . . . 4  |-  -.  f : NN -1-1-onto-> RR
87nex 1543 . . 3  |-  -.  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR
9 bren 6867 . . 3  |-  ( NN 
~~  RR  <->  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR )
108, 9mtbir 292 . 2  |-  -.  NN  ~~  RR
11 brsdom 6880 . 2  |-  ( NN 
~<  RR  <->  ( NN  ~<_  RR  /\  -.  NN  ~~  RR ) )
124, 10, 11mpbir2an 888 1  |-  NN  ~<  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5   E.wex 1529    e. wcel 1685   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   -onto->wfo 5220   -1-1-onto->wf1o 5221    ~~ cen 6856    ~<_ cdom 6857    ~< csdm 6858   RRcr 8732   NNcn 9742
This theorem is referenced by:  resdomq  12517  aleph1re  12518  aleph1irr  12519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10778  df-seq 11042
  Copyright terms: Public domain W3C validator