Theorem ruclem3 7455

Description: Lemma for ruc 7492. Arithmetic fact that will be used to compute ordering relations.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem1.a	|- A e. RR
ruclem1.b	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
ruclem3	|- (A < B <-> ((A + (2 x. B)) / 3) < B)

Proof of Theorem ruclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.a	. . . 4 |- A e. RR
2		ruclem1.b	. . . 4 |- B e. RR
3		2re 5926	. . . . 5 |- 2 e. RR
4	3, 2	remulcl 5307	. . . 4 |- (2 x. B) e. RR
5	1, 2, 4	ltadd1 5565	. . 3 |- (A < B <-> (A + (2 x. B)) < (B + (2 x. B)))
6		df-3 5918	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
7		2cn 5927	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
8		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
9	7, 8	addcom 5294	. . . . . . 7 |- (2 + 1) = (1 + 2)
10	6, 9	eqtr 1487	. . . . . 6 |- 3 = (1 + 2)
11	10	opreq1i 3956	. . . . 5 |- (3 x. B) = ((1 + 2) x. B)
12	2	recn 5286	. . . . . 6 |- B e. CC
13	8, 7, 12	adddir 5299	. . . . 5 |- ((1 + 2) x. B) = ((1 x. B) + (2 x. B))
14	12	mulid2 5305	. . . . . 6 |- (1 x. B) = B
15	14	opreq1i 3956	. . . . 5 |- ((1 x. B) + (2 x. B)) = (B + (2 x. B))
16	11, 13, 15	3eqtrr 1492	. . . 4 |- (B + (2 x. B)) = (3 x. B)
17	16	breq2i 2617	. . 3 |- ((A + (2 x. B)) < (B + (2 x. B)) <-> (A + (2 x. B)) < (3 x. B))
18	5, 17	bitr 173	. 2 |- (A < B <-> (A + (2 x. B)) < (3 x. B))
19	1, 4	readdcl 5306	. . 3 |- (A + (2 x. B)) e. RR
20		3re 5928	. . . 4 |- 3 e. RR
21	20, 2	remulcl 5307	. . 3 |- (3 x. B) e. RR
22		3pos 5938	. . 3 |- 0 < 3
23	19, 21, 20, 22	ltdiv1i 5779	. 2 |- ((A + (2 x. B)) < (3 x. B) <-> ((A + (2 x. B)) / 3) < ((3 x. B) / 3))
24	20	recn 5286	. . . 4 |- 3 e. CC
25	20, 22	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- 3 =/= 0
26	24, 12, 25	divcan3 5714	. . 3 |- ((3 x. B) / 3) = B
27	26	breq2i 2617	. 2 |- (((A + (2 x. B)) / 3) < ((3 x. B) / 3) <-> ((A + (2 x. B)) / 3) < B)
28	18, 23, 27	3bitr 177	1 |- (A < B <-> ((A + (2 x. B)) / 3) < B)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   < clt 5458  2c2 5908  3c3 5909

This theorem is referenced by:  ruclem27 7479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-3 5918

Copyright terms: Public domain