Theorem ruclem36 7488

Description: Lemma for ruc 7492. No value of F is equal to the supremum we have constructed.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem.0	|- F:NN-->RR
ruclem.1	|- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
ruclem.2	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
ruclem.3	|- G = (1st o. (D seq1 C))
ruclem.4	|- H = (2nd o. (D seq1 C))
ruclem.5	|- S = sup(ran G, RR, < )
ruclem.a	|- A e. NN

Assertion

Ref	Expression
ruclem36	|- -. (F` A) = S

Distinct variable groups:   x,y,z   z,F

Proof of Theorem ruclem36

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem.0	. . 3 |- F:NN-->RR
2		ruclem.1	. . 3 |- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
3		ruclem.2	. . 3 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
4		ruclem.3	. . 3 |- G = (1st o. (D seq1 C))
5		ruclem.4	. . 3 |- H = (2nd o. (D seq1 C))
6		ruclem.a	. . 3 |- A e. NN
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ruclem29 7481	. 2 |- -. ((G` A) < (F` A) /\ (F` A) < (H` A))
8		ruclem.5	. . . 4 |- S = sup(ran G, RR, < )
9	1, 2, 3, 4, 5, 8, 6	ruclem35 7487	. . 3 |- ((G` A) < S /\ S < (H` A))
10		breq2 2613	. . . 4 |- ((F` A) = S -> ((G` A) < (F` A) <-> (G` A) < S))
11		breq1 2612	. . . 4 |- ((F` A) = S -> ((F` A) < (H` A) <-> S < (H` A)))
12	10, 11	anbi12d 626	. . 3 |- ((F` A) = S -> (((G` A) < (F` A) /\ (F` A) < (H` A)) <-> ((G` A) < S /\ S < (H` A))))
13	9, 12	mpbiri 194	. 2 |- ((F` A) = S -> ((G` A) < (F` A) /\ (F` A) < (H` A)))
14	7, 13	mto 106	1 |- -. (F` A) = S

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   \ cdif 2034   u. cun 2035  ifcif 2351  {csn 2399  <.cop 2401   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  ran crn 3161   |` cres 3162   o. ccom 3164  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  {copab2 3949  1stc1st 4061  2ndc2nd 4062  supcsup 4547  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268   < clt 5458  2c2 5908  3c3 5909   seq1 cseq1 6244

This theorem is referenced by:  ruclem37 7489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245

Copyright terms: Public domain