Theorem ruclem39 7760

Description: Lemma for ruc 7761. There is no function that maps NN onto RR. (Use nex 1137 if you want this in the form -. E.ff:NN-onto->RR.)

Assertion

Ref	Expression
ruclem39	|- -. F:NN-onto->RR

Proof of Theorem ruclem39

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fof 3779	. . 3 |- (F:NN-onto->RR -> F:NN-->RR)
2		foeq1 3775	. . . . 5 |- (F = if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})) -> (F:NN-onto->RR <-> if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-onto->RR))
3	2	notbid 614	. . . 4 |- (F = if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})) -> (-. F:NN-onto->RR <-> -. if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-onto->RR))
4		0re 5594	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
5	4	elisseti 1864	. . . . . . . 8 |- 0 e. V
6	5	fconst 3765	. . . . . . 7 |- (NN X. {0}):NN-->{0}
7		snssi 2530	. . . . . . . 8 |- (0 e. RR -> {0} (_ RR)
8	4, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- {0} (_ RR
9		fss 3742	. . . . . . 7 |- (((NN X. {0}):NN-->{0} /\ {0} (_ RR) -> (NN X. {0}):NN-->RR)
10	6, 8, 9	mp2an 701	. . . . . 6 |- (NN X. {0}):NN-->RR
11	10	elimf 3733	. . . . 5 |- if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-->RR
12	11	ruclem38 7759	. . . 4 |- -. if(F:NN-->RR, F, (NN X. {0})):NN-onto->RR
13	3, 12	dedth 2437	. . 3 |- (F:NN-->RR -> -. F:NN-onto->RR)
14	1, 13	syl 10	. 2 |- (F:NN-onto->RR -> -. F:NN-onto->RR)
15		pm2.01 88	. 2 |- ((F:NN-onto->RR -> -. F:NN-onto->RR) -> -. F:NN-onto->RR)
16	14, 15	ax-mp 7	1 |- -. F:NN-onto->RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994   (_ wss 2099  ifcif 2415  {csn 2467   X. cxp 3249  -->wf 3259  -onto->wfo 3261  RRcr 5387  0cc0 5388  NNcn 5450

This theorem is referenced by:  ruc 7761

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673

Copyright terms: Public domain