Theorem ruclem6 7515

Description: Lemma for ruc 7549. Helper lemma showing the input function used for our recursive sequence builder (defined in ruclem13 7522) matches our input mapping F for successor values.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem5.0	|- F:NN-->RR
ruclem5.1	|- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))

Assertion

Ref	Expression
ruclem6	|- (C |` (NN \ {1})) = (F |` (NN \ {1}))

Proof of Theorem ruclem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem5.1	. . 3 |- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
2		reseq1 3368	. . 3 |- (C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) -> (C |` (NN \ {1})) = (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) |` (NN \ {1})))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- (C |` (NN \ {1})) = (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) |` (NN \ {1}))
4		resundir 3379	. 2 |- (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1}))) |` (NN \ {1})) = (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) u. ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1})))
5		difdisj 2337	. . . . 5 |- ({1} i^i (NN \ {1})) = (/)
6		1nn 5934	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
7	6	elisseti 1818	. . . . . . . 8 |- 1 e. V
8		opex 2782	. . . . . . . 8 |- <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>. e. V
9	7, 8	f1osn 3719	. . . . . . 7 |- {<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.}:{1}-1-1-onto->{<.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.}
10		f1ofn 3690	. . . . . . 7 |- ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.}:{1}-1-1-onto->{<.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.} -> {<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} Fn {1})
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} Fn {1}
12		fnresdisj 3597	. . . . . 6 |- ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} Fn {1} -> (({1} i^i (NN \ {1})) = (/) <-> ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) = (/)))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- (({1} i^i (NN \ {1})) = (/) <-> ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) = (/))
14	5, 13	mpbi 189	. . . 4 |- ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) = (/)
15		residm 3390	. . . 4 |- ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1})) = (F |` (NN \ {1}))
16	14, 15	uneq12i 2182	. . 3 |- (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) u. ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1}))) = ((/) u. (F |` (NN \ {1})))
17		uncom 2176	. . 3 |- ((/) u. (F |` (NN \ {1}))) = ((F |` (NN \ {1})) u. (/))
18		un0 2297	. . 3 |- ((F |` (NN \ {1})) u. (/)) = (F |` (NN \ {1}))
19	16, 17, 18	3eqtr 1499	. 2 |- (({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} |` (NN \ {1})) u. ((F |` (NN \ {1})) |` (NN \ {1}))) = (F |` (NN \ {1}))
20	3, 4, 19	3eqtr 1499	1 |- (C |` (NN \ {1})) = (F |` (NN \ {1}))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   \ cdif 2044   u. cun 2045   i^i cin 2046  (/)c0 2280  {csn 2409  <.cop 2411   |` cres 3172   Fn wfn 3177  -->wf 3178  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237  NNcn 5296  2c2 5961

This theorem is referenced by:  ruclem13 7522

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-1r 5172  df-c 5240  df-1 5242  df-r 5244  df-n 5925

Copyright terms: Public domain