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Theorem sbcomOLD7 29829
Description: A commutativity law for substitution. (Contributed by NM, 27-May-1997.)
Assertion
Ref Expression
sbcomOLD7  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )

Proof of Theorem sbcomOLD7
StepHypRef Expression
1 drsb1NEW7 29580 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
2 nfa1 1807 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 drsb1NEW7 29580 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
42, 3sbbidNEW7 29648 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
51, 4bitr3d 248 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
7 nfa1 1807 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z A. z  z  =  x
87nfn 1812 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
9 aecomNEW7 29548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
10 aecomNEW7 29548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
119, 10impbii 182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  z  =  x  <->  A. x  x  =  z )
1211notbii 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  <->  -.  A. x  x  =  z )
1312nfbii 1579 . . . . . . . . . 10  |-  ( F/ z  -.  A. z 
z  =  x  <->  F/ z  -.  A. x  x  =  z )
148, 13mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
15 nfnaeOLD7 29785 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
1614, 15nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )
17 nfeqfNEW7 29560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  F/ x  z  =  y )
18 19.21t 1814 . . . . . . . . 9  |-  ( F/ x  z  =  y  ->  ( A. x
( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. x ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
2016, 19albid 1789 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2120adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. z
( z  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
22 alcomOLD7 29755 . . . . . . . 8  |-  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
) )
232nfn 1812 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
24 nfnaeOLD7 29785 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
2523, 24nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )
26 bi2.04 352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
) )
2726albii 1576 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  A. z ( x  =  y  ->  (
z  =  y  ->  ph ) ) )
289con3i 130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
29 nfeqfNEW7 29560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
3028, 29sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  x  =  y )
31 19.21t 1814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph ) )  <-> 
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ( z  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
3327, 32syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
3425, 33albid 1789 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. x A. z ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3522, 34syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  ->  (
x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3635adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z A. x ( z  =  y  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
3721, 36bitr3d 248 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ( z  =  y  ->  ph )
) ) )
38 sb4bNEW7 29627 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph ) ) )
39 sb4bNEW7 29627 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] ph 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
4039imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( (
z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
4115, 40albid 1789 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. z ( z  =  y  ->  [ y  /  x ] ph )  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
4238, 41sylan9bbr 683 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
4342adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  A. z ( z  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
44 sb4bNEW7 29627 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) ) )
45 sb4bNEW7 29627 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( [
y  /  z ]
ph 
<-> 
A. z ( z  =  y  ->  ph )
) )
4645imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( (
x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4724, 46albid 1789 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  [ y  /  z ] ph ) 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4844, 47sylan9bb 682 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
4948adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z
( z  =  y  ->  ph ) ) ) )
5037, 43, 493bitr4d 278 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y
) )  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
516, 50pm2.61ian 767 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( [
y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5251ex 425 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) ) )
53 nfaeOLD7 29783 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
54 sbequ12 1945 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  x ] ph ) )
5554sps 1771 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
5653, 55sbbidNEW7 29648 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
57 sbequ12 1945 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5857sps 1771 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
5956, 58bitr3d 248 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
60 sbequ12 1945 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph ) )
6160sps 1771 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  z ] [
y  /  x ] ph ) )
62 nfaeOLD7 29783 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
63 sbequ12 1945 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( ph 
<->  [ y  /  z ] ph ) )
6463sps 1771 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( ph  <->  [ y  /  z ] ph ) )
6562, 64sbbidNEW7 29648 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6661, 65bitr3d 248 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( [ y  / 
z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph ) )
6752, 59, 66pm2.61ii 160 1  |-  ( [ y  /  z ] [ y  /  x ] ph  <->  [ y  /  x ] [ y  /  z ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   F/wnf 1554   [wsb 1659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-7v 29516  ax-7OLD7 29752
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660
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