Theorem sbcralg 1965

Description: Interchange class substitution and restricted quantifier.

Assertion

Ref	Expression
sbcralg	|- (A e. C -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y

Proof of Theorem sbcralg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1792	. 2 |- (A e. C -> A e. V)
2		ax-17 1190	. . . 4 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	ax-gen 955	. . 3 |- A.z(z e. A -> A.y z e. A)
4		ax-17 1190	. . . . 5 |- (A e. V -> A.y A e. V)
5	3	hbth 977	. . . . 5 |- (A.z(z e. A -> A.y z e. A) -> A.yA.z(z e. A -> A.y z e. A))
6	4, 5	hban 985	. . . 4 |- ((A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> A.y(A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)))
7		sbcralt 1961	. . . 4 |- (A.y(A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))
8	6, 7	syl 10	. . 3 |- ((A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))
9	3, 8	mpan2 693	. 2 |- (A e. V -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))
10	1, 9	syl 10	1 |- (A e. C -> ([A / x]A.y e. B ph <-> A.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950   e. wcel 1105  [wsbc 1153  A.wral 1621  Vcvv 1786

This theorem is referenced by:  csbfsum 6916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ral 1625  df-v 1787  df-sbc 1913

Copyright terms: Public domain