Theorem sbcrext 1987

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier.

Assertion

Ref	Expression
sbcrext	|- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   z,A   x,B   z,C   x,y,z

Proof of Theorem sbcrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrex2 1653	. . . . . . 7 |- (E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. ph)
2	1	sbcbii 1974	. . . . . 6 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> [A / x] -. A.y e. B -. ph))
3		sbcng 1965	. . . . . 6 |- (A e. C -> ([A / x] -. A.y e. B -. ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
4	2, 3	bitrd 527	. . . . 5 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
5	4	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
6	5	a4s 982	. . 3 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. [A / x]A.y e. B -. ph))
7		sbcralt 1986	. . . . 5 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B [A / x] -. ph))
8		hba1 1001	. . . . . 6 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> A.yA.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)))
9		sbcng 1965	. . . . . . . 8 |- (A e. C -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
10	9	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
11	10	a4s 982	. . . . . 6 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x] -. ph <-> -. [A / x]ph))
12	8, 11	ralbid 1658	. . . . 5 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> (A.y e. B [A / x] -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
13	7, 12	bitrd 527	. . . 4 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]A.y e. B -. ph <-> A.y e. B -. [A / x]ph))
14	13	negbid 610	. . 3 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> (-. [A / x]A.y e. B -. ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
15	6, 14	bitrd 527	. 2 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph))
16		dfrex2 1653	. 2 |- (E.y e. B [A / x]ph <-> -. A.y e. B -. [A / x]ph)
17	15, 16	syl6bbr 537	1 |- (A.y(A e. C /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   e. wcel 956  [wsbc 1168  A.wral 1642  E.wrex 1643

This theorem is referenced by:  sbcrexg 1991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938

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