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Theorem sbn 2001
Description: Negation inside and outside of substitution are equivalent. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
sbn  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sbn
StepHypRef Expression
1 sbequ2 1633 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  ph ) )
2 sbequ2 1633 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  ph ) )
31, 2nsyld 134 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [
y  /  x ] ph ) )
43sps 1740 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -. 
[ y  /  x ] ph ) )
5 sb4 1992 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ]  -.  ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  -.  ph ) ) )
6 sb1 1634 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
7 equs3 1626 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  ph )  <->  -. 
A. x ( x  =  y  ->  -.  ph ) )
86, 7sylib 190 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  -.  A. x
( x  =  y  ->  -.  ph ) )
98con2i 114 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  ph )  ->  -.  [ y  /  x ] ph )
105, 9syl6 31 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [ y  /  x ] ph ) )
114, 10pm2.61i 158 . 2  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [ y  /  x ] ph )
12 sbequ1 1860 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
1312con3rr3 130 . . 3  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  ( x  =  y  ->  -.  ph ) )
14 sb2 1968 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph )  ->  [ y  /  x ]  -.  -.  ph )
15 notnot 284 . . . . . . 7  |-  ( ph  <->  -. 
-.  ph )
1615sbbii 1636 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ]  -.  -.  ph )
1714, 16sylibr 205 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph )  ->  [ y  /  x ] ph )
1817con3i 129 . . . 4  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  -.  A. x
( x  =  y  ->  -.  -.  ph )
)
19 equs3 1626 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  -.  ph ) 
<->  -.  A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph ) )
2018, 19sylibr 205 . . 3  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  E. x
( x  =  y  /\  -.  ph )
)
21 df-sb 1632 . . 3  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  ( ( x  =  y  ->  -.  ph )  /\  E. x
( x  =  y  /\  -.  ph )
) )
2213, 20, 21sylanbrc 647 . 2  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ]  -.  ph )
2311, 22impbii 182 1  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1528   E.wex 1529   [wsb 1631
This theorem is referenced by:  sbi2  2003  sbor  2005  sban  2008  spsbe  2014  sb8e  2032  sbex  2070  sbcng  3032  difab  3438  pm13.196a  27013  compneOLD  27042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632
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