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Theorem sbn 2015
Description: Negation inside and outside of substitution are equivalent. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
sbn  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sbn
StepHypRef Expression
1 sbequ2 1640 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  ph ) )
2 sbequ2 1640 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  ph ) )
31, 2nsyld 132 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [
y  /  x ] ph ) )
43sps 1751 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -. 
[ y  /  x ] ph ) )
5 sb4 2006 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ]  -.  ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  -.  ph ) ) )
6 sb1 1641 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
7 equs3 1634 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  ph )  <->  -. 
A. x ( x  =  y  ->  -.  ph ) )
86, 7sylib 188 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  -.  A. x
( x  =  y  ->  -.  ph ) )
98con2i 112 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  ph )  ->  -.  [ y  /  x ] ph )
105, 9syl6 29 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( [
y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [ y  /  x ] ph ) )
114, 10pm2.61i 156 . 2  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  ->  -.  [ y  /  x ] ph )
12 sbequ1 1871 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
1312con3rr3 128 . . 3  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  ( x  =  y  ->  -.  ph ) )
14 sb2 1976 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph )  ->  [ y  /  x ]  -.  -.  ph )
15 notnot 282 . . . . . . 7  |-  ( ph  <->  -. 
-.  ph )
1615sbbii 1643 . . . . . 6  |-  ( [ y  /  x ] ph 
<->  [ y  /  x ]  -.  -.  ph )
1714, 16sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph )  ->  [ y  /  x ] ph )
1817con3i 127 . . . 4  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  -.  A. x
( x  =  y  ->  -.  -.  ph )
)
19 equs3 1634 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  -.  ph ) 
<->  -.  A. x ( x  =  y  ->  -.  -.  ph ) )
2018, 19sylibr 203 . . 3  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  E. x
( x  =  y  /\  -.  ph )
)
21 df-sb 1639 . . 3  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  ( ( x  =  y  ->  -.  ph )  /\  E. x
( x  =  y  /\  -.  ph )
) )
2213, 20, 21sylanbrc 645 . 2  |-  ( -. 
[ y  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ]  -.  ph )
2311, 22impbii 180 1  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531   [wsb 1638
This theorem is referenced by:  sbi2  2017  sbor  2019  sban  2022  spsbe  2028  sb8e  2046  sbex  2080  sbcng  3044  difab  3450  pm13.196a  27717  compneOLD  27746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639
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