Theorem sbthlem10 4442

Description: Lemma for sbth 4443.

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. V
sbthlem.2	|- D = {x | (x (_ A /\ (g"(B \ (f"x))) (_ (A \ x))}
sbthlem.3	|- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
sbthlem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
sbthlem10	|- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,D   x,f,g   x,H   f,g,A   B,f,g

Proof of Theorem sbthlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . 5 |- B e. V
2	1	brdom 4366	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)
3		sbthlem.1	. . . . 5 |- A e. V
4	3	brdom 4366	. . . 4 |- (B ~<_ A <-> E.g g:B-1-1->A)
5	2, 4	anbi12i 482	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
6		eeanv 1321	. . 3 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) <-> (E.f f:A-1-1->B /\ E.g g:B-1-1->A))
7	5, 6	bitr4 176	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) <-> E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A))
8		sbthlem.2	. . . . 5 |- D = {x | (x (_ A /\ (g"(B \ (f"x))) (_ (A \ x))}
9		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ((f |` U.D) u. (`'g |` (A \ U.D)))
10	3, 8, 9	sbthlem9 4441	. . . 4 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> H:A-1-1-onto->B)
11	3	f1oen 4385	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)
12	10, 11	syl 10	. . 3 |- ((f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
13	12	19.23aivv 1294	. 2 |- (E.fE.g(f:A-1-1->B /\ g:B-1-1->A) -> A ~~ B)
14	7, 13	sylbi 199	1 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  Vcvv 1807   \ cdif 2040   u. cun 2041   (_ wss 2043  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  `'ccnv 3164   |` cres 3167  "cima 3168  -1-1->wf1 3174  -1-1-onto->wf1o 3176   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  sbth 4443

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain