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Theorem sbthlem7 7223
Description: Lemma for sbth 7227. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem7  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7
StepHypRef Expression
1 funres 5492 . . 3  |-  ( Fun  f  ->  Fun  ( f  |`  U. D ) )
2 funres 5492 . . 3  |-  ( Fun  `' g  ->  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
3 dmres 5167 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
4 inss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( U. D  i^i  dom  f )  C_ 
U. D
53, 4eqsstri 3378 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  |`  U. D ) 
C_  U. D
6 ssrin 3566 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  C_  U. D  -> 
( dom  ( f  |` 
U. D )  i^i 
dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) )
8 dmres 5167 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
9 inss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  C_  ( A  \ 
U. D )
108, 9eqsstri 3378 . . . . . . . 8  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) 
C_  ( A  \  U. D )
11 sslin 3567 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) )  C_  ( A  \  U. D )  ->  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
137, 12sstri 3357 . . . . . 6  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
14 disjdif 3700 . . . . . 6  |-  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )  =  (/)
1513, 14sseqtri 3380 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  (/)
16 ss0 3658 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  C_  (/)  ->  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/)
18 funun 5495 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )  /\  ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
1917, 18mpan2 653 . . 3  |-  ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 464 . 2  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
21 sbthlem.3 . . 3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2221funeqi 5474 . 2  |-  ( Fun 
H  <->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) ) )
2320, 22sylibr 204 1  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U.cuni 4015   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448
This theorem is referenced by:  sbthlem9  7225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-res 4890  df-fun 5456
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