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Theorem sbthlem7 7182
Description: Lemma for sbth 7186. (Contributed by NM, 27-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlem7  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlem7
StepHypRef Expression
1 funres 5451 . . 3  |-  ( Fun  f  ->  Fun  ( f  |`  U. D ) )
2 funres 5451 . . 3  |-  ( Fun  `' g  ->  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
3 dmres 5126 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
4 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( U. D  i^i  dom  f )  C_ 
U. D
53, 4eqsstri 3338 . . . . . . . 8  |-  dom  (
f  |`  U. D ) 
C_  U. D
6 ssrin 3526 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  C_  U. D  -> 
( dom  ( f  |` 
U. D )  i^i 
dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) )
8 dmres 5126 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
9 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  C_  ( A  \ 
U. D )
108, 9eqsstri 3338 . . . . . . . 8  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) 
C_  ( A  \  U. D )
11 sslin 3527 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) )  C_  ( A  \  U. D )  ->  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( U. D  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) 
C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
137, 12sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )
14 disjdif 3660 . . . . . 6  |-  ( U. D  i^i  ( A  \  U. D ) )  =  (/)
1513, 14sseqtri 3340 . . . . 5  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  C_  (/)
16 ss0 3618 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  C_  (/)  ->  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  (/)
18 funun 5454 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )  /\  ( dom  ( f  |`  U. D )  i^i  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
1917, 18mpan2 653 . . 3  |-  ( ( Fun  ( f  |`  U. D )  /\  Fun  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D ) ) ) )
201, 2, 19syl2an 464 . 2  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) ) )
21 sbthlem.3 . . 3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2221funeqi 5433 . 2  |-  ( Fun 
H  <->  Fun  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) ) )
2320, 22sylibr 204 1  |-  ( ( Fun  f  /\  Fun  `' g )  ->  Fun  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407
This theorem is referenced by:  sbthlem9  7184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-res 4849  df-fun 5415
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