Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scott0 Unicode version

Theorem scott0 7794
 Description: Scott's trick collects all sets that have a certain property and are of the smallest possible rank. This theorem shows that the resulting collection, expressed as in Equation 9.3 of [Jech] p. 72, contains at least one representative with the property, if there is one. In other words, the collection is empty iff no set has the property (i.e. is empty). (Contributed by NM, 15-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scott0
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem scott0
StepHypRef Expression
1 rabeq 2937 . . 3
2 rab0 3635 . . 3
31, 2syl6eq 2478 . 2
4 n0 3624 . . . . . . . . 9
5 nfre1 2749 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2430 . . . . . . . . . . 11
7 rspe 2754 . . . . . . . . . . 11
86, 7mpan2 653 . . . . . . . . . 10
95, 8exlimi 1821 . . . . . . . . 9
104, 9sylbi 188 . . . . . . . 8
11 fvex 5728 . . . . . . . . . . . 12
12 eqeq1 2436 . . . . . . . . . . . . 13
1312anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13spcev 3030 . . . . . . . . . . 11
1514eximi 1585 . . . . . . . . . 10
16 excom 1756 . . . . . . . . . 10
1715, 16sylibr 204 . . . . . . . . 9
18 df-rex 2698 . . . . . . . . 9
19 df-rex 2698 . . . . . . . . . 10
2019exbii 1592 . . . . . . . . 9
2117, 18, 203imtr4i 258 . . . . . . . 8
2210, 21syl 16 . . . . . . 7
23 abn0 3633 . . . . . . 7
2422, 23sylibr 204 . . . . . 6
2511dfiin2 4113 . . . . . . 7
26 rankon 7705 . . . . . . . . . . 11
27 eleq1 2490 . . . . . . . . . . 11
2826, 27mpbiri 225 . . . . . . . . . 10
2928rexlimivw 2813 . . . . . . . . 9
3029abssi 3405 . . . . . . . 8
31 onint 4761 . . . . . . . 8
3230, 31mpan 652 . . . . . . 7
3325, 32syl5eqel 2514 . . . . . 6
3424, 33syl 16 . . . . 5
35 nfii1 4109 . . . . . . . . 9
3635nfeq2 2577 . . . . . . . 8
37 eqeq1 2436 . . . . . . . 8
3836, 37rexbid 2711 . . . . . . 7
3938elabg 3070 . . . . . 6
4039ibi 233 . . . . 5
41 ssid 3354 . . . . . . . . . 10
42 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . 12
4342sseq1d 3362 . . . . . . . . . . 11
4443rspcev 3039 . . . . . . . . . 10
4541, 44mpan2 653 . . . . . . . . 9
46 iinss 4129 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8
48 sseq1 3356 . . . . . . . 8
4947, 48syl5ib 211 . . . . . . 7
5049ralrimiv 2775 . . . . . 6
5150reximi 2800 . . . . 5
5234, 40, 513syl 19 . . . 4
53 rabn0 3634 . . . 4
5452, 53sylibr 204 . . 3
5554necon4i 2653 . 2
563, 55impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2416   wne 2593  wral 2692  wrex 2693  crab 2696   wss 3307  c0 3615  cint 4037  ciin 4081  con0 4568  cfv 5440  crnk 7673 This theorem is referenced by:  scott0s  7796  cplem1  7797  karden  7803 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-r1 7674  df-rank 7675
 Copyright terms: Public domain W3C validator