Theorem sdomen2 4471

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	|- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 4459	. . . . . . . . 9 |- (B e. D -> ((C ~< A /\ A ~~ B) -> C ~< B))
2	1	exp3a 375	. . . . . . . 8 |- (B e. D -> (C ~< A -> (A ~~ B -> C ~< B)))
3	2	com23 32	. . . . . . 7 |- (B e. D -> (A ~~ B -> (C ~< A -> C ~< B)))
4	3	imp 350	. . . . . 6 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A -> C ~< B))
5	4	adantll 392	. . . . 5 |- (((A e. V /\ B e. D) /\ A ~~ B) -> (C ~< A -> C ~< B))
6		ensymg 4401	. . . . . . 7 |- (B e. D -> (A ~~ B -> B ~~ A))
7		sdomentr 4459	. . . . . . . . 9 |- (A e. V -> ((C ~< B /\ B ~~ A) -> C ~< A))
8	7	exp3a 375	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> (C ~< B -> (B ~~ A -> C ~< A)))
9	8	com23 32	. . . . . . 7 |- (A e. V -> (B ~~ A -> (C ~< B -> C ~< A)))
10	6, 9	syl9r 58	. . . . . 6 |- (A e. V -> (B e. D -> (A ~~ B -> (C ~< B -> C ~< A))))
11	10	imp31 362	. . . . 5 |- (((A e. V /\ B e. D) /\ A ~~ B) -> (C ~< B -> C ~< A))
12	5, 11	impbid 515	. . . 4 |- (((A e. V /\ B e. D) /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B))
13	12	exp31 376	. . 3 |- (A e. V -> (B e. D -> (A ~~ B -> (C ~< A <-> C ~< B))))
14	13	imp3a 361	. 2 |- (A e. V -> ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B)))
15		relen 4363	. . . . . 6 |- Rel ~~
16	15	brrelexi 3204	. . . . 5 |- (A ~~ B -> A e. V)
17	16	con3i 98	. . . 4 |- (-. A e. V -> -. A ~~ B)
18	17	pm2.21d 78	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ~~ B -> (C ~< A <-> C ~< B)))
19	18	adantld 390	. 2 |- (-. A e. V -> ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B)))
20	14, 19	pm2.61i 126	1 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (C ~< A <-> C ~< B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615   ~~ cen 4357   ~< csdm 4359

This theorem is referenced by:  finsucdom 4515  sucxpdom 4829  alephval2 4885

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-er 4254  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362

Copyright terms: Public domain