MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Unicode version

Theorem sdomentr 6949
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 6842 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 sdomdomtr 6948 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan2 462 1  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   class class class wbr 3983    ~~ cen 6814    ~<_ cdom 6815    ~< csdm 6816
This theorem is referenced by:  sdomen2  6960  unxpdom2  7025  sucxpdom  7026  findcard3  7054  fofinf1o  7091  sdomsdomcardi  7558  cardsdomel  7561  cardmin2  7585  alephnbtwn2  7653  pwsdompw  7784  infdif2  7790  fin23lem27  7908  axcclem  8037  numthcor  8075  sdomsdomcard  8136  pwcfsdom  8159  cfpwsdom  8160  inawinalem  8265  inatsk  8354  r1tskina  8358  tskuni  8359  rucALT  12456  iunmbl2  18862  dirith2  20625  erdszelem10  23089  pellex  26273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820
  Copyright terms: Public domain W3C validator