Theorem sdomex 4462

Description: Technical lemma for simplifying proofs involving strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomex	|- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))

Proof of Theorem sdomex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 4365	. . 3 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 3204	. 2 |- (A ~< B -> A e. V)
3		sdomirr 4461	. . . 4 |- -. A ~< A
4		brprc 2657	. . . 4 |- (-. B e. V -> (A ~< B <-> A ~< A))
5	3, 4	mtbiri 716	. . 3 |- (-. B e. V -> -. A ~< B)
6	5	a3i 74	. 2 |- (A ~< B -> B e. V)
7	2, 6	jca 288	1 |- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615   ~< csdm 4359

This theorem is referenced by:  sdomtr 4463  isfinite2 4532  fin2inf 4536  unxpdom 4827  sucxpdom 4829  sdomsdomcard 4831  cdafi 4919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362

Copyright terms: Public domain