MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomirr Unicode version

Theorem sdomirr 6931
Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomirr  |-  -.  A  ~<  A

Proof of Theorem sdomirr
StepHypRef Expression
1 sdomnen 6823 . . 3  |-  ( A 
~<  A  ->  -.  A  ~~  A )
2 enrefg 6826 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~~  A )
31, 2nsyl3 113 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  A  ~<  A )
4 relsdom 6803 . . . 4  |-  Rel  ~<
54brrelexi 4682 . . 3  |-  ( A 
~<  A  ->  A  e. 
_V )
65con3i 129 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  A  ~<  A )
73, 6pm2.61i 158 1  |-  -.  A  ~<  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    e. wcel 1621   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963    ~~ cen 6793    ~< csdm 6795
This theorem is referenced by:  sdomn2lp  6933  2pwuninel  6949  2pwne  6950  r111  7380  alephval2  8127  alephom  8140  csdfil  17516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799
  Copyright terms: Public domain W3C validator