Theorem sdomnsym 4607

Description: Strict dominance is not symmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
sdomnsym	|- (A ~< B -> -. B ~< A)

Proof of Theorem sdomnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 4528	. 2 |- (A ~< B -> -. A ~~ B)
2		sbth 4602	. . . 4 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ A) -> A ~~ B)
3		sdomdom 4527	. . . 4 |- (A ~< B -> A ~<_ B)
4		sdomdom 4527	. . . 4 |- (B ~< A -> B ~<_ A)
5	2, 3, 4	syl2an 456	. . 3 |- ((A ~< B /\ B ~< A) -> A ~~ B)
6	5	ex 371	. 2 |- (A ~< B -> (B ~< A -> A ~~ B))
7	1, 6	mtod 107	1 |- (A ~< B -> -. B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   class class class wbr 2692   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  domnsym 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain