Theorem sdomsdomcard 4828

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates.

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	|- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4459	. . 3 |- (A ~< B -> (A e. V /\ B e. V))
2	1	pm3.27d 325	. 2 |- (A ~< B -> B e. V)
3		sdom0 4454	. . . 4 |- -. A ~< (/)
4		fvprc 3712	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (card` B) = (/))
5	4	breq2d 2625	. . . 4 |- (-. B e. V -> (A ~< (card` B) <-> A ~< (/)))
6	3, 5	mtbiri 716	. . 3 |- (-. B e. V -> -. A ~< (card` B))
7	6	a3i 74	. 2 |- (A ~< (card` B) -> B e. V)
8		fvex 3723	. . . . . 6 |- (card` B) e. V
9		sdomentr 4456	. . . . . 6 |- ((card` B) e. V -> ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B)))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B))
11	10	ex 373	. . . 4 |- (A ~< B -> (B ~~ (card` B) -> A ~< (card` B)))
12		cardid 4808	. . . . 5 |- (card` B) ~~ B
13		ensymg 4398	. . . . 5 |- (B e. V -> ((card` B) ~~ B -> B ~~ (card` B)))
14	12, 13	mpi 44	. . . 4 |- (B e. V -> B ~~ (card` B))
15	11, 14	syl5com 52	. . 3 |- (B e. V -> (A ~< B -> A ~< (card` B)))
16		sdomentr 4456	. . . 4 |- (B e. V -> ((A ~< (card` B) /\ (card` B) ~~ B) -> A ~< B))
17	12, 16	mpan2i 698	. . 3 |- (B e. V -> (A ~< (card` B) -> A ~< B))
18	15, 17	impbid 515	. 2 |- (B e. V -> (A ~< B <-> A ~< (card` B)))
19	2, 7, 18	pm5.21nii 678	1 |- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  Vcvv 1807  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  ` cfv 3177   ~~ cen 4354   ~< csdm 4356  cardccrd 4793

This theorem is referenced by:  cardsdomel 4832

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796

Copyright terms: Public domain