MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomtr Unicode version

Theorem sdomtr 6967
Description: Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomtr  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem sdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 6857 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  B )
2 domsdomtr 6964 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan 459 1  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~<  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   class class class wbr 3997    ~<_ cdom 6829    ~< csdm 6830
This theorem is referenced by:  sdomn2lp  6968  2pwuninel  6984  2pwne  6985  r1sdom  7414  alephordi  7669  pwsdompw  7798  gruina  8408  rexpen  12468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834
  Copyright terms: Public domain W3C validator