Theorem sdomtr 4619

Description: Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
sdomtr	|- ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C)

Proof of Theorem sdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4618	. . . 4 |- (B ~< C -> (B e. V /\ C e. V))
2	1	pm3.27d 323	. . 3 |- (B ~< C -> C e. V)
3		sdomdomtr 4614	. . . 4 |- (C e. V -> ((A ~< B /\ B ~<_ C) -> A ~< C))
4		sdomdom 4527	. . . 4 |- (B ~< C -> B ~<_ C)
5	3, 4	sylan2i 467	. . 3 |- (C e. V -> ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C))
6	2, 5	syl 10	. 2 |- (B ~< C -> ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C))
7	6	anabsi7 500	1 |- ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994  Vcvv 1857   class class class wbr 2692   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  sdomn2lp 4620  domsdomtr 4621  2pwuninel 4632  2pwne 4634  alephordi 5024  omsubsdomlem2 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain