Theorem seglecgr12im 24109

Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seglecgr12im	|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. ) -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )

Proof of Theorem seglecgr12im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
2		simprlr 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
3		simpl11 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
4		simpl21 1038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpr 449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
6		simpl22 1039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
7		simpl32 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
8		simpl33 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
9		cgrxfr 24054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	syl132anc 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
11	10	adantr 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
12	1, 2, 11	mp2and 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) )
13		anass 633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) )
14		simpl11 1035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
15		simpl21 1038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
16		simprl 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
17		simpl22 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
18		simpl32 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
19		simprr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
20		simpl33 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
21		brcgr3 24045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
22	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	syl133anc 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
23	22	adantr 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
24		df-3an 941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) <-> ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
25		simpl23 1040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
26		simpl31 1041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
27		simpl12 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
28		simpl13 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
29		simpr1l 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. E , F >. )
30		simpr2r 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. C , y >. )
31	14, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30	cgrtr4and 23985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. C , y >. )
32		simpr31 1050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. C , y >.Cgr <. G , z >. )
33	14, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32	cgrtrand 23992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. )
34	24, 33	sylan2br 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. )
35	34	expr 601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
36	23, 35	sylbid 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
37	36	anim2d 550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
38	13, 37	sylanb 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
39	38	an32s 782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
40	39	reximdva 2630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
41	12, 40	mpd 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
42	41	expr 601	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
43	42	an32s 782	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
44	43	rexlimdva 2642	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
45		simp11 990	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
46		simp12 991	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
47		simp13 992	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
48		simp21 993	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
49		simp22 994	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
50		brsegle 24107	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	syl122anc 1196	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
52	51	adantr 453	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
53		simp23 995	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
54		simp31 996	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
55		simp32 997	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
56		simp33 998	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
57		brsegle 24107	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
58	45, 53, 54, 55, 56, 57	syl122anc 1196	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
59	58	adantr 453	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
60	44, 52, 59	3imtr4d 261	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )
61	60	exp32 591	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. -> ( <. C , D >.Cgr <. G , H >. -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) ) ) )
62	61	3impd 1170	1 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. ) -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 939   e. wcel 1621   E.wrex 2519   <.cop 3617   class class class wbr 3997   ` cfv 4673   NNcn 9714   EEcee 23892   Btwn cbtwn 23893  Cgrccgr 23894  Cgr3ccgr3 24035   Seg<_ csegle 24105

This theorem is referenced by:  seglecgr12  24110

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-sum 12125  df-ee 23895  df-btwn 23896  df-cgr 23897  df-ofs 23982  df-cgr3 24039  df-segle 24106