Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglecgr12im Unicode version

Theorem seglecgr12im 24735
Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglecgr12im  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. )  ->  <. E ,  F >. 
Seg<_ 
<. G ,  H >. ) )

Proof of Theorem seglecgr12im
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
2 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )
3 simpl11 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl21 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
5 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  y  e.  ( EE `  N
) )
6 simpl22 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
7 simpl32 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
8 simpl33 1038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  H  e.  ( EE `  N
) )
9 cgrxfr 24680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  H  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. ) ) )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9syl132anc 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
) )
1110adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
) )
121, 2, 11mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
)
13 anass 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) ) )
14 simpl11 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
15 simpl21 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
17 simpl22 1034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
18 simpl32 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N ) )
19 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
20 simpl33 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  H  e.  ( EE `  N ) )
21 brcgr3 24671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. G , 
z >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. z ,  H >. ) ) )
2214, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21syl133anc 1205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. 
<->  ( <. C ,  y
>.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. G , 
z >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. z ,  H >. ) ) )
24 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) )  <->  ( ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. G ,  z >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )
25 simpl23 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
26 simpl31 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
27 simpl12 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
28 simpl13 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
29 simpr1l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
30 simpr2r 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
3114, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30cgrtr4and 24611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. C ,  y
>. )
32 simpr31 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>. )
3314, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32cgrtrand 24618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. )
3424, 33sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. G ,  z >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. )
3534expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( <. C ,  y
>.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. )  ->  <. E ,  F >.Cgr
<. G ,  z >.
) )
3623, 35sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) )
3736anim2d 548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
3813, 37sylanb 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
3938an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
4039reximdva 2657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4112, 40mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) )
4241expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4342an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4443rexlimdva 2669 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
45 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
46 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
47 simp13 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
48 simp21 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
49 simp22 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
50 brsegle 24733 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
5145, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) )
5251adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. 
<->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
53 simp23 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
54 simp31 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
55 simp32 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
56 simp33 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  H  e.  ( EE `  N
) )
57 brsegle 24733 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
5845, 53, 54, 55, 56, 57syl122anc 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z 
Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr
<. G ,  z >.
) ) )
5958adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. 
<->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
6044, 52, 593imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  ->  <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. ) )
6160exp32 588 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  -> 
( <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  -> 
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  ->  <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. ) ) ) )
62613impd 1165 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. )  ->  <. E ,  F >. 
Seg<_ 
<. G ,  H >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1686   E.wrex 2546   <.cop 3645   class class class wbr 4025   ` cfv 5257   NNcn 9748   EEcee 24518    Btwn cbtwn 24519  Cgrccgr 24520  Cgr3ccgr3 24661    Seg<_ csegle 24731
This theorem is referenced by:  seglecgr12  24736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-sum 12161  df-ee 24521  df-btwn 24522  df-cgr 24523  df-ofs 24608  df-cgr3 24665  df-segle 24732
  Copyright terms: Public domain W3C validator