Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglecgr12im Structured version   Unicode version

Theorem seglecgr12im 26036
Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglecgr12im  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. )  ->  <. E ,  F >. 
Seg<_ 
<. G ,  H >. ) )

Proof of Theorem seglecgr12im
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
2 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )
3 simpl11 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl21 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
5 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  y  e.  ( EE `  N
) )
6 simpl22 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
7 simpl32 1039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
8 simpl33 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  H  e.  ( EE `  N
) )
9 cgrxfr 25981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  H  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. ) ) )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9syl132anc 1202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
) )
1110adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
) )
121, 2, 11mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
)
13 anass 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) ) )
14 simpl11 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
15 simpl21 1035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
17 simpl22 1036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
18 simpl32 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N ) )
19 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
20 simpl33 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  H  e.  ( EE `  N ) )
21 brcgr3 25972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. G , 
z >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. z ,  H >. ) ) )
2214, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21syl133anc 1207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. 
<->  ( <. C ,  y
>.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. G , 
z >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. z ,  H >. ) ) )
24 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) )  <->  ( ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. G ,  z >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )
25 simpl23 1037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
26 simpl31 1038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
27 simpl12 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
28 simpl13 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
29 simpr1l 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
30 simpr2r 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
3114, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30cgrtr4and 25912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. C ,  y
>. )
32 simpr31 1047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>. )
3314, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32cgrtrand 25919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. )
3424, 33sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. G ,  z >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. )
3534expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( <. C ,  y
>.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. )  ->  <. E ,  F >.Cgr
<. G ,  z >.
) )
3623, 35sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) )
3736anim2d 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
3813, 37sylanb 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
3938an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
4039reximdva 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4112, 40mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) )
4241expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4342an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4443rexlimdva 2822 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
45 simp11 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
46 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
47 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
48 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
49 simp22 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
50 brsegle 26034 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
5145, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) )
5251adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. 
<->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
53 simp23 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
54 simp31 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
55 simp32 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
56 simp33 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  H  e.  ( EE `  N
) )
57 brsegle 26034 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
5845, 53, 54, 55, 56, 57syl122anc 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z 
Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr
<. G ,  z >.
) ) )
5958adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. 
<->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
6044, 52, 593imtr4d 260 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  ->  <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. ) )
6160exp32 589 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  -> 
( <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  -> 
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  ->  <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. ) ) ) )
62613impd 1167 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. )  ->  <. E ,  F >. 
Seg<_ 
<. G ,  H >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   E.wrex 2698   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   NNcn 9992   EEcee 25819    Btwn cbtwn 25820  Cgrccgr 25821  Cgr3ccgr3 25962    Seg<_ csegle 26032
This theorem is referenced by:  seglecgr12  26037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-ee 25822  df-btwn 25823  df-cgr 25824  df-ofs 25909  df-cgr3 25966  df-segle 26033
  Copyright terms: Public domain W3C validator