Theorem seglecgr12im 25952

Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seglecgr12im	|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. ) -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )

Proof of Theorem seglecgr12im

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
2		simprlr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
3		simpl11 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
4		simpl21 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
6		simpl22 1036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
7		simpl32 1039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
8		simpl33 1040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
9		cgrxfr 25897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	syl132anc 1202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
11	10	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
12	1, 2, 11	mp2and 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) )
13		anass 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) )
14		simpl11 1032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
15		simpl21 1035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
16		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
17		simpl22 1036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
18		simpl32 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
19		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
20		simpl33 1040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
21		brcgr3 25888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
22	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	syl133anc 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
23	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
24		df-3an 938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) <-> ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
25		simpl23 1037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
26		simpl31 1038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
27		simpl12 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
28		simpl13 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
29		simpr1l 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. E , F >. )
30		simpr2r 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. C , y >. )
31	14, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30	cgrtr4and 25828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. C , y >. )
32		simpr31 1047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. C , y >.Cgr <. G , z >. )
33	14, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32	cgrtrand 25835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. )
34	24, 33	sylan2br 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. )
35	34	expr 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
36	23, 35	sylbid 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
37	36	anim2d 549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
38	13, 37	sylanb 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
39	38	an32s 780	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
40	39	reximdva 2782	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
41	12, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
42	41	expr 599	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
43	42	an32s 780	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
44	43	rexlimdva 2794	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
45		simp11 987	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
46		simp12 988	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
47		simp13 989	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
48		simp21 990	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
49		simp22 991	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
50		brsegle 25950	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	syl122anc 1193	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
52	51	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
53		simp23 992	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
54		simp31 993	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
55		simp32 994	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
56		simp33 995	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
57		brsegle 25950	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
58	45, 53, 54, 55, 56, 57	syl122anc 1193	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
59	58	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
60	44, 52, 59	3imtr4d 260	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )
61	60	exp32 589	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. -> ( <. C , D >.Cgr <. G , H >. -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) ) ) )
62	61	3impd 1167	1 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. ) -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   e. wcel 1721   E.wrex 2671   <.cop 3781   class class class wbr 4176   ` cfv 5417   NNcn 9960   EEcee 25735   Btwn cbtwn 25736  Cgrccgr 25737  Cgr3ccgr3 25878   Seg<_ csegle 25948

This theorem is referenced by:  seglecgr12  25953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-ee 25738  df-btwn 25739  df-cgr 25740  df-ofs 25825  df-cgr3 25882  df-segle 25949