Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglelin Unicode version

Theorem seglelin 23913
Description: Linearity law for segment comparison. Theorem 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglelin  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  \/  <. C ,  D >. 
Seg<_ 
<. A ,  B >. ) )

Proof of Theorem seglelin
StepHypRef Expression
1 segcon2 23902 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  \/  x  Btwn  <. A ,  B >. )  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
2 andir 843 . . . . 5  |-  ( ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  \/  x  Btwn  <. A ,  B >. )  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. )  <-> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  \/  ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
3 simpl1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl2l 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
5 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
6 simpl3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )
7 cgrcom 23787 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) )
83, 4, 5, 6, 7syl121anc 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) )
98anbi2d 687 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <-> 
( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) )
109orbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. )  \/  ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  <->  ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. )  \/  ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) ) )
112, 10syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  \/  x  Btwn  <. A ,  B >. )  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. )  \/  ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) ) )
1211rexbidva 2524 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N
) ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  \/  x  Btwn  <. A ,  B >. )  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. )  \/  ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) ) )
13 brsegle2 23906 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
14 brsegle 23905 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) )
15143com23 1162 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) )
1613, 15orbi12d 693 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  \/ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. )  <-> 
( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  \/  E. x  e.  ( EE `  N
) ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) ) )
17 r19.43 2657 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( EE
`  N ) ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  \/  ( x 
Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >. ) )  <->  ( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  \/  E. x  e.  ( EE `  N
) ( x  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. ) ) )
1816, 17syl6bbr 256 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  \/ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  \/  ( x 
Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >. ) ) ) )
1912, 18bitr4d 249 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N
) ( ( B 
Btwn  <. A ,  x >.  \/  x  Btwn  <. A ,  B >. )  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  \/  <. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. ) ) )
201, 19mpbid 203 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  \/  <. C ,  D >. 
Seg<_ 
<. A ,  B >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   E.wrex 2510   <.cop 3547   class class class wbr 3920   ` cfv 4592   NNcn 9626   EEcee 23690    Btwn cbtwn 23691  Cgrccgr 23692    Seg<_ csegle 23903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-ee 23693  df-btwn 23694  df-cgr 23695  df-ofs 23780  df-ifs 23836  df-cgr3 23837  df-colinear 23838  df-fs 23839  df-segle 23904
  Copyright terms: Public domain W3C validator