Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglerflx Unicode version

Theorem seglerflx 25994
Description: Segment comparison is reflexive. Theorem 5.7 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglerflx  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >. )

Proof of Theorem seglerflx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
2 btwntriv2 25894 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  Btwn  <. A ,  B >. )
3 cgrrflx 25869 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. )
4 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  Btwn  <. A ,  B >. 
<->  B  Btwn  <. A ,  B >. ) )
5 opeq2 3977 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
65breq2d 4216 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. A ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) )
74, 6anbi12d 692 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  y
>. )  <->  ( B  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
87rspcev 3044 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  y >. ) )
91, 2, 3, 8syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  y >. ) )
10 simp1 957 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
11 simp2 958 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
12 brsegle 25990 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  y
>. ) ) )
1310, 11, 1, 11, 1, 12syl122anc 1193 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. A ,  y >.
) ) )
149, 13mpbird 224 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5445   NNcn 9989   EEcee 25775    Btwn cbtwn 25776  Cgrccgr 25777    Seg<_ csegle 25988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-ee 25778  df-btwn 25779  df-cgr 25780  df-segle 25989
  Copyright terms: Public domain W3C validator