Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglerflx Unicode version

Theorem seglerflx 24110
Description: Segment comparison is reflexive. Theorem 5.7 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglerflx  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >. )

Proof of Theorem seglerflx
StepHypRef Expression
1 simp3 962 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
2 btwntriv2 24010 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  Btwn  <. A ,  B >. )
3 cgrrflx 23985 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. )
4 breq1 4000 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  Btwn  <. A ,  B >. 
<->  B  Btwn  <. A ,  B >. ) )
5 opeq2 3771 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
65breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. A ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) )
74, 6anbi12d 694 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  y
>. )  <->  ( B  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
87rcla4ev 2859 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  B >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  y >. ) )
91, 2, 3, 8syl12anc 1185 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. A ,  y >. ) )
10 simp1 960 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
11 simp2 961 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
12 brsegle 24106 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. A ,  y
>. ) ) )
1310, 11, 1, 11, 1, 12syl122anc 1196 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. A ,  B >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. A ,  y >.
) ) )
149, 13mpbird 225 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  ->  <. A ,  B >.  Seg<_  <. A ,  B >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   <.cop 3617   class class class wbr 3997   ` cfv 4673   NNcn 9714   EEcee 23891    Btwn cbtwn 23892  Cgrccgr 23893    Seg<_ csegle 24104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-sum 12124  df-ee 23894  df-btwn 23895  df-cgr 23896  df-segle 24105
  Copyright terms: Public domain W3C validator