Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  segletr Unicode version

Theorem segletr 25755
Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
segletr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. E ,  F >. ) )

Proof of Theorem segletr
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprll 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
y  Btwn  <. C ,  D >. )
2 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )
31, 2jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )
4 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simpl23 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
6 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
7 simpl31 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
8 simpl32 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
9 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
10 cgrxfr 25696 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) ) )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl132anc 1202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
)  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )
) )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) ) )
133, 12mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) )
14 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
15 df-3an 938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) )  <->  ( (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) ) )
1615anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
1714, 16bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
18 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  N  e.  NN )
19 simpl23 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
20 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
21 simpl31 1038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
22 simpl32 1039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
23 simpr3 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  w  e.  ( EE `  N ) )
24 simpr2 964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
z  e.  ( EE
`  N ) )
25 brcgr3 25687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
)  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl133anc 1207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >.  <-> 
( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )
2726anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  <->  ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
2827adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  <->  ( w  Btwn  <. E ,  z
>.  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
29 df-3an 938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )  <->  ( (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
30 simpl33 1040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
31 simpr3l 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  w  Btwn  <. E , 
z >. )
32 simpr2l 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  z  Btwn  <. E ,  F >. )
3318, 22, 23, 24, 30, 31, 32btwnexchand 25667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  w  Btwn  <. E ,  F >. )
34 simpl21 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
35 simpl22 1036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
36 simpr1r 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)
37 simp3r1 1065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )  ->  <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >. )
3837adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >. )
3918, 34, 35, 19, 20, 22, 23, 36, 38cgrtrand 25634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  w >. )
4033, 39jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4129, 40sylan2br 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4241expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) )  ->  (
w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4328, 42sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  (
w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4417, 43sylanb 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4544an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4645reximdva 2754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4713, 46mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4847exp31 588 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) ) )
4948rexlimdvv 2772 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
50 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
51 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
52 simp22 991 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
53 simp23 992 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
54 simp31 993 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
55 brsegle 25749 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
5650, 51, 52, 53, 54, 55syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) )
57 simp32 994 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
58 simp33 995 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
59 brsegle 25749 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) )
6050, 53, 54, 57, 58, 59syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z 
Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )
6156, 60anbi12d 692 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  <-> 
( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) ) )
62 reeanv 2811 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )
6361, 62syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) ) )
64 brsegle 25749 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
6550, 51, 52, 57, 58, 64syl122anc 1193 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w 
Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  w >. ) ) )
6649, 63, 653imtr4d 260 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. E ,  F >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   E.wrex 2643   <.cop 3753   class class class wbr 4146   ` cfv 5387   NNcn 9925   EEcee 25534    Btwn cbtwn 25535  Cgrccgr 25536  Cgr3ccgr3 25677    Seg<_ csegle 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-ee 25537  df-btwn 25538  df-cgr 25539  df-ofs 25624  df-cgr3 25681  df-segle 25748
  Copyright terms: Public domain W3C validator