Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  segletr Unicode version

Theorem segletr 24077
Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
segletr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. E ,  F >. ) )

Proof of Theorem segletr
StepHypRef Expression
1 simprll 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
y  Btwn  <. C ,  D >. )
2 simprrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )
31, 2jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )
4 simpl1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simpl23 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
6 simprl 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
7 simpl31 1041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
8 simpl32 1042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
9 simprr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
10 cgrxfr 24018 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) ) )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl132anc 1205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
)  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )
) )
1211adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) ) )
133, 12mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) )
14 anass 633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
15 df-3an 941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) )  <->  ( (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) ) )
1615anbi2i 678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
1714, 16bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
18 simpl1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  N  e.  NN )
19 simpl23 1040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
20 simpr1 966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
21 simpl31 1041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
22 simpl32 1042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
23 simpr3 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  w  e.  ( EE `  N ) )
24 simpr2 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
z  e.  ( EE
`  N ) )
25 brcgr3 24009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
)  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl133anc 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >.  <-> 
( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )
2726anbi2d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  <->  ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
2827adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  <->  ( w  Btwn  <. E ,  z
>.  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
29 df-3an 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )  <->  ( (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
30 simpl33 1043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
31 simpr3l 1021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  w  Btwn  <. E , 
z >. )
32 simpr2l 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  z  Btwn  <. E ,  F >. )
3318, 22, 23, 24, 30, 31, 32btwnexchand 23989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  w  Btwn  <. E ,  F >. )
34 simpl21 1038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
35 simpl22 1039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
36 simpr1r 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)
37 simp3r1 1068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )  ->  <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >. )
3837adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >. )
3918, 34, 35, 19, 20, 22, 23, 36, 38cgrtrand 23956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  w >. )
4033, 39jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4129, 40sylan2br 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4241expr 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) )  ->  (
w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4328, 42sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  (
w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4417, 43sylanb 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4544an32s 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4645reximdva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4713, 46mpd 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4847exp31 590 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) ) )
4948rexlimdvv 2644 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
50 simp1 960 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
51 simp21 993 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
52 simp22 994 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
53 simp23 995 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
54 simp31 996 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
55 brsegle 24071 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
5650, 51, 52, 53, 54, 55syl122anc 1196 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) )
57 simp32 997 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
58 simp33 998 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
59 brsegle 24071 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) )
6050, 53, 54, 57, 58, 59syl122anc 1196 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z 
Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )
6156, 60anbi12d 694 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  <-> 
( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) ) )
62 reeanv 2678 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )
6361, 62syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) ) )
64 brsegle 24071 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
6550, 51, 52, 57, 58, 64syl122anc 1196 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w 
Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  w >. ) ) )
6649, 63, 653imtr4d 261 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. E ,  F >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   E.wrex 2517   <.cop 3584   class class class wbr 3963   ` cfv 4638   NNcn 9679   EEcee 23856    Btwn cbtwn 23857  Cgrccgr 23858  Cgr3ccgr3 23999    Seg<_ csegle 24069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-sum 12089  df-ee 23859  df-btwn 23860  df-cgr 23861  df-ofs 23946  df-cgr3 24003  df-segle 24070
  Copyright terms: Public domain W3C validator