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Theorem selberg3lem2 20655
Description: Lemma for selberg3 20656. Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg3lem2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem selberg3lem2
StepHypRef Expression
1 1re 8791 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10691 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
y  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
43simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
54ssriv 3145 . . . . 5  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR
65a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
71a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 10987 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  m  e.  NN )
109adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  NN )
11 vmacl 20304 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1310nnrpd 10342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1413relogcld 19922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1512, 14remulcld 8817 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
168, 15fsumrecl 12158 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
174adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR )
18 chpcl 20310 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
20 1rp 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
2120a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
223simprbi 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  y )
2322adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  y )
2417, 21, 23rpgecld 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR+ )
2524relogcld 19922 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
2619, 25remulcld 8817 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
2716, 26resubcld 9165 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
2827, 24rerpdivcld 10370 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  RR )
2928recnd 8815 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  CC )
3024ex 425 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  y  e.  RR+ )
)
3130ssrdv 3146 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
32 selberg2lem 20647 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 )
3332a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 ) )
3431, 33o1res2 11988 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 ) )
35 fzfid 10987 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
36 elfznn 10771 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
3736adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
3837, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
3937nnrpd 10342 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4039relogcld 19922 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
4138, 40remulcld 8817 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
4235, 41fsumrecl 12158 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  e.  RR )
43 chpcl 20310 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4443ad2antrl 711 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
45 simprl 735 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4620a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR+ )
47 simprr 736 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
4845, 46, 47rpgecld 10378 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948relogcld 19922 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
5044, 49remulcld 8817 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
5142, 50readdcld 8816 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5227adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5352recnd 8815 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  CC )
5424adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR+ )
5554rpcnd 10345 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  CC )
5654rpne0d 10348 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  =/=  0 )
5753, 55, 56absdivd 11888 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) ) )
5817adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR )
5954rpge0d 10347 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  y )
6058, 59absidd 11856 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  y )  =  y )
6160oveq2d 5794 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6257, 61eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6353abscld 11869 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  RR )
6463, 54rerpdivcld 10370 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  e.  RR )
6542ad2ant2r 730 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
66 simprll 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
6766, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
68 simprr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <  x )
6958, 66, 68ltled 8921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <_  x )
7066, 54, 69rpgecld 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
7170relogcld 19922 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7267, 71remulcld 8817 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
7365, 72readdcld 8816 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7420a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  e.  RR+ )
7553absge0d 11877 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) ) ) )
7623adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  <_  y )
7774, 54, 63, 75, 76lediv2ad 10365 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 ) )
7863recnd 8815 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  CC )
7978div1d 9482 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8077, 79breqtrd 4007 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8116adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
8258, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
8354relogcld 19922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8482, 83remulcld 8817 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8581, 84readdcld 8816 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
8681recnd 8815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  CC )
8726adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8887recnd 8815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  CC )
8986, 88abs2dif2d 11891 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
90 vmage0 20307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
9110, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
9210nnred 9715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR )
9310nnge1d 9742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  m )
9492, 93logge0d 19929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
9512, 14, 91, 94mulge0d 9303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
968, 15, 95fsumge0 12204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9796adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9881, 97absidd 11856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
99 chpge0 20312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
10058, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
10158, 76logge0d 19929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
10282, 83, 100, 101mulge0d 9303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )
10387, 102absidd 11856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) )  =  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )
10498, 103oveq12d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
10589, 104breqtrd 4007 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
106 fzfid 10987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
10736adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
108107, 11syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
109107nnrpd 10342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109relogcld 19922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  m
)  e.  RR )
111108, 110remulcld 8817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
112107, 90syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
113107nnred 9715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
114107nnge1d 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  m
)
115113, 114logge0d 19929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
116108, 110, 112, 115mulge0d 9303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
117 flword2 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
11858, 66, 69, 117syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
119 fzss2 10783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
120118, 119syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
121106, 111, 116, 120fsumless 12205 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
122 chpwordi 20343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  (ψ `  y )  <_  (ψ `  x ) )
12358, 66, 69, 122syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  <_  (ψ `  x
) )
12454, 70logled 19926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( y  <_  x  <->  ( log `  y
)  <_  ( log `  x ) ) )
12569, 124mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  <_  ( log `  x ) )
12682, 67, 83, 71, 100, 101, 123, 125lemul12ad 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  <_  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
12781, 84, 65, 72, 121, 126le2addd 9344 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
12863, 85, 73, 105, 127letrd 8927 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
12964, 63, 73, 80, 128letrd 8927 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
13062, 129eqbrtrd 4003 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
1316, 7, 29, 34, 51, 130o1bddrp 11967 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
132131trud 1320 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c
133 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  c  e.  RR+ )
134 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
135133, 134selberg3lem1 20654 . . 3  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
136135rexlimiva 2635 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 136ax-mp 10 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1312    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    C_ wss 3113   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    +oocpnf 8818    < clt 8821    <_ cle 8822    - cmin 8991    / cdiv 9377   NNcn 9700   2c2 9749   ZZ>=cuz 10183   RR+crp 10307   (,)cioo 10608   [,)cico 10610   ...cfz 10734   |_cfl 10876   abscabs 11670   O ( 1 )co1 11911   sum_csu 12109   logclog 19860  Λcvma 20277  ψcchp 20278
This theorem is referenced by:  selberg3  20656  selberg4  20658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-o1 11915  df-lo1 11916  df-sum 12110  df-ef 12297  df-e 12298  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-prime 12707  df-pc 12838  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165  df-log 19862  df-cxp 19863  df-cht 20282  df-vma 20283  df-chp 20284  df-ppi 20285
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