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Theorem selberg3lem2 21240
Description: Lemma for selberg3 21241. Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg3lem2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem selberg3lem2
Dummy variables  m  c  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9079 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10989 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
y  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
43simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
54ssriv 3344 . . . . 5  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
71a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 11300 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 11069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  m  e.  NN )
109adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  NN )
11 vmacl 20889 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1310nnrpd 10636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1413relogcld 20506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1512, 14remulcld 9105 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
168, 15fsumrecl 12516 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
174adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR )
18 chpcl 20895 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
20 1rp 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
223simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  y )
2322adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  y )
2417, 21, 23rpgecld 10672 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR+ )
2524relogcld 20506 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
2619, 25remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
2716, 26resubcld 9454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
2827, 24rerpdivcld 10664 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  RR )
2928recnd 9103 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  CC )
3024ex 424 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  y  e.  RR+ )
)
3130ssrdv 3346 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
32 selberg2lem 21232 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 )
3332a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 ) )
3431, 33o1res2 12345 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 ) )
35 fzfid 11300 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
36 elfznn 11069 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
3736adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
3837, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
3937nnrpd 10636 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4039relogcld 20506 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
4138, 40remulcld 9105 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
4235, 41fsumrecl 12516 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  e.  RR )
43 chpcl 20895 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4443ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
45 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4620a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR+ )
47 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
4845, 46, 47rpgecld 10672 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948relogcld 20506 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
5044, 49remulcld 9105 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
5142, 50readdcld 9104 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5227adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9103 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  CC )
5424adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR+ )
5554rpcnd 10639 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  CC )
5654rpne0d 10642 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  =/=  0 )
5753, 55, 56absdivd 12245 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) ) )
5817adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR )
5954rpge0d 10641 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  y )
6058, 59absidd 12213 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  y )  =  y )
6160oveq2d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6257, 61eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6353abscld 12226 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  RR )
6463, 54rerpdivcld 10664 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  e.  RR )
6542ad2ant2r 728 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
66 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
6766, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
68 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <  x )
6958, 66, 68ltled 9210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <_  x )
7066, 54, 69rpgecld 10672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
7170relogcld 20506 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7267, 71remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
7365, 72readdcld 9104 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  e.  RR+ )
7553absge0d 12234 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) ) ) )
7623adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  <_  y )
7774, 54, 63, 75, 76lediv2ad 10659 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 ) )
7863recnd 9103 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  CC )
7978div1d 9771 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8077, 79breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8116adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
8258, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
8354relogcld 20506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8482, 83remulcld 9105 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8581, 84readdcld 9104 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
8681recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  CC )
8726adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8887recnd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  CC )
8986, 88abs2dif2d 12248 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
90 vmage0 20892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
9110, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
9210nnred 10004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR )
9310nnge1d 10031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  m )
9492, 93logge0d 20513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
9512, 14, 91, 94mulge0d 9592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
968, 15, 95fsumge0 12562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9796adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9881, 97absidd 12213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
99 chpge0 20897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
10058, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
10158, 76logge0d 20513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
10282, 83, 100, 101mulge0d 9592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )
10387, 102absidd 12213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) )  =  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )
10498, 103oveq12d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
10589, 104breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
106 fzfid 11300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
10736adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
108107, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
109107nnrpd 10636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109relogcld 20506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  m
)  e.  RR )
111108, 110remulcld 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
112107, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
113107nnred 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
114107nnge1d 10031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  m
)
115113, 114logge0d 20513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
116108, 110, 112, 115mulge0d 9592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
117 flword2 11208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
11858, 66, 69, 117syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
119 fzss2 11081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
121106, 111, 116, 120fsumless 12563 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
122 chpwordi 20928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  (ψ `  y )  <_  (ψ `  x ) )
12358, 66, 69, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  <_  (ψ `  x
) )
12454, 70logled 20510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( y  <_  x  <->  ( log `  y
)  <_  ( log `  x ) ) )
12569, 124mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  <_  ( log `  x ) )
12682, 67, 83, 71, 100, 101, 123, 125lemul12ad 9942 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  <_  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
12781, 84, 65, 72, 121, 126le2addd 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
12863, 85, 73, 105, 127letrd 9216 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
12964, 63, 73, 80, 128letrd 9216 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
13062, 129eqbrtrd 4224 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
1316, 7, 29, 34, 51, 130o1bddrp 12324 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
132131trud 1332 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c
133 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  c  e.  RR+ )
134 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
135133, 134selberg3lem1 21239 . . 3  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
136135rexlimiva 2817 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 136ax-mp 8 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    +oocpnf 9106    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   2c2 10038   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   (,)cioo 10905   [,)cico 10907   ...cfz 11032   |_cfl 11189   abscabs 12027   O ( 1 )co1 12268   sum_csu 12467   logclog 20440  Λcvma 20862  ψcchp 20863
This theorem is referenced by:  selberg3  21241  selberg4  21243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-o1 12272  df-lo1 12273  df-sum 12468  df-ef 12658  df-e 12659  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-prm 13068  df-pc 13199  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443  df-cht 20867  df-vma 20868  df-chp 20869  df-ppi 20870
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