MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberg3lem2 Unicode version

Theorem selberg3lem2 20723
Description: Lemma for selberg3 20724. Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg3lem2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem selberg3lem2
Dummy variables  m  c  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10755 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
y  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
43simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  y  e.  RR )
54ssriv 3197 . . . . 5  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR
65a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
71a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 10835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  m  e.  NN )
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  NN )
11 vmacl 20372 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1310nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1413relogcld 19990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1512, 14remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
168, 15fsumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
174adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR )
18 chpcl 20378 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
20 1rp 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
2120a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
223simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  y )
2322adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  y )
2417, 21, 23rpgecld 10441 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR+ )
2524relogcld 19990 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
2619, 25remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
2716, 26resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
2827, 24rerpdivcld 10433 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  RR )
2928recnd 8877 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  CC )
3024ex 423 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  y  e.  RR+ )
)
3130ssrdv 3198 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
32 selberg2lem 20715 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 )
3332a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 ) )
3431, 33o1res2 12053 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O ( 1 ) )
35 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
36 elfznn 10835 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
3736adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
3837, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
3937nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4039relogcld 19990 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
4138, 40remulcld 8879 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
4235, 41fsumrecl 12223 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  e.  RR )
43 chpcl 20378 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4443ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
45 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4620a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR+ )
47 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
4845, 46, 47rpgecld 10441 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948relogcld 19990 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
5044, 49remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
5142, 50readdcld 8878 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5227adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5352recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  CC )
5424adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR+ )
5554rpcnd 10408 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  CC )
5654rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  =/=  0 )
5753, 55, 56absdivd 11953 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) ) )
5817adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR )
5954rpge0d 10410 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  y )
6058, 59absidd 11921 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  y )  =  y )
6160oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6257, 61eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6353abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  RR )
6463, 54rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  e.  RR )
6542ad2ant2r 727 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
66 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
6766, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
68 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <  x )
6958, 66, 68ltled 8983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <_  x )
7066, 54, 69rpgecld 10441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
7170relogcld 19990 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7267, 71remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
7365, 72readdcld 8878 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7420a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  e.  RR+ )
7553absge0d 11942 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) ) ) )
7623adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  <_  y )
7774, 54, 63, 75, 76lediv2ad 10428 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 ) )
7863recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  CC )
7978div1d 9544 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8077, 79breqtrd 4063 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8116adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
8258, 18syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
8354relogcld 19990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8482, 83remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8581, 84readdcld 8878 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
8681recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  CC )
8726adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8887recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  CC )
8986, 88abs2dif2d 11956 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
90 vmage0 20375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
9110, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
9210nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR )
9310nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  m )
9492, 93logge0d 19997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
9512, 14, 91, 94mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
968, 15, 95fsumge0 12269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9796adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9881, 97absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
99 chpge0 20380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
10058, 99syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
10158, 76logge0d 19997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
10282, 83, 100, 101mulge0d 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )
10387, 102absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) )  =  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )
10498, 103oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
10589, 104breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
106 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
10736adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
108107, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
109107nnrpd 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109relogcld 19990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  m
)  e.  RR )
111108, 110remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
112107, 90syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
113107nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
114107nnge1d 9804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  m
)
115113, 114logge0d 19997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
116108, 110, 112, 115mulge0d 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
117 flword2 10959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
11858, 66, 69, 117syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
119 fzss2 10847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
121106, 111, 116, 120fsumless 12270 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
122 chpwordi 20411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  (ψ `  y )  <_  (ψ `  x ) )
12358, 66, 69, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  <_  (ψ `  x
) )
12454, 70logled 19994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( y  <_  x  <->  ( log `  y
)  <_  ( log `  x ) ) )
12569, 124mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  <_  ( log `  x ) )
12682, 67, 83, 71, 100, 101, 123, 125lemul12ad 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  <_  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
12781, 84, 65, 72, 121, 126le2addd 9406 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
12863, 85, 73, 105, 127letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
12964, 63, 73, 80, 128letrd 8989 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
13062, 129eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
1316, 7, 29, 34, 51, 130o1bddrp 12032 . . 3  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
132131trud 1314 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c
133 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  c  e.  RR+ )
134 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
135133, 134selberg3lem1 20722 . . 3  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
136135rexlimiva 2675 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
137132, 136ax-mp 8 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940   abscabs 11735   O ( 1 )co1 11976   sum_csu 12174   logclog 19928  Λcvma 20345  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  selberg3  20724  selberg4  20726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-cht 20350  df-vma 20351  df-chp 20352  df-ppi 20353
  Copyright terms: Public domain W3C validator