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Theorem selberg3r 20712
Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.8 of [Shapiro], p. 429. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
selberg3r  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem selberg3r
StepHypRef Expression
1 elioore 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 10385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
76adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
87simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 8962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 10420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1110relogcld 19968 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1211recnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
13122timesd 9949 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) )
1413oveq2d 5835 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) ) )
15 chpcl 20356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
162, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1716, 11remulcld 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
18 2re 9810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1918a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
202, 8rplogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2119, 20rerpdivcld 10412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 fzfid 11029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23 elfznn 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2423adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
25 vmacl 20350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
272adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
2827, 24nndivred 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
29 chpcl 20356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
3126, 30remulcld 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
3224nnrpd 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3332relogcld 19968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3431, 33remulcld 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3522, 34fsumrecl 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3621, 35remulcld 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3717, 36readdcld 8857 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837, 10rerpdivcld 10412 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
3938recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
4039, 12, 12subsub4d 9183 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) ) )
4114, 40eqtr4d 2319 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) ) )
4241oveq1d 5834 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
4339, 12subcld 9152 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
44 2cn 9811 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4544a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  CC )
4620rpne0d 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4745, 12, 46divcld 9531 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
4826, 24nndivred 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
4948, 33remulcld 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
5022, 49fsumrecl 12201 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5150recnd 8856 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
5247, 51mulcld 8850 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5343, 52, 12nnncan2d 9187 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
54 pntrval.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
5554pntrf 20706 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
5655ffvelrni 5625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
5710, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
5857recnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
5958, 12mulcld 8850 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
6036recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
6159, 60addcld 8849 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
622recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
6362, 52mulcld 8850 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
6410rpne0d 10390 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
6561, 63, 62, 64divsubdird 9570 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) ) )
6659, 60, 63addsubassd 9172 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
6735recnd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6862, 51mulcld 8850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
6947, 67, 68subdid 9230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
7049recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
7122, 62, 70fsummulc2 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
7271oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7334recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7462adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7574, 70mulcld 8850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
7622, 73, 75fsumsub 12244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7772, 76eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7826recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
7930recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  CC )
8033recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
8178, 79, 80mul32d 9017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )
8224nncnd 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
8324nnne0d 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8478, 80, 82, 83div23d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )
8584oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  /  n ) )  =  ( x  x.  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
8678, 80mulcld 8850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
8774, 86, 82, 83div12d 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) )
8885, 87eqtr3d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) )
8981, 88oveq12d 5837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  -  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n ) ) ) )
9010adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
9190, 32rpdivcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
9254pntrval 20705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  =  ( (ψ `  (
x  /  n ) )  -  ( x  /  n ) ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  =  ( (ψ `  ( x  /  n ) )  -  ( x  /  n
) ) )
9493oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  ( R `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( (ψ `  ( x  /  n
) )  -  (
x  /  n ) ) ) )
9528recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
9686, 79, 95subdid 9230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (
(ψ `  ( x  /  n ) )  -  ( x  /  n
) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  (
x  /  n ) ) )  -  (
( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (
x  /  n ) ) ) )
9794, 96eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  ( R `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  -  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) ) )
9889, 97eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) ) )
9955ffvelrni 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
10091, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
101100recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
10278, 101, 80mul32d 9017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( R `  ( x  /  n
) ) ) )
10398, 102eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
104103sumeq2dv 12170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
10577, 104eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
106105oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10747, 62, 51mul12d 9016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( x  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
108107oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10969, 106, 1083eqtr3rd 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
110109oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
11166, 110eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
112111oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
11354pntrval 20705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x
) )
115114oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  -  x
)  x.  ( log `  x ) ) )
11616recnd 8856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
117116, 62, 12subdird 9231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  -  x )  x.  ( log `  x
) )  =  ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
118115, 117eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
119118oveq1d 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
12017recnd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
12162, 12mulcld 8850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
122120, 60, 121addsubd 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
123119, 122eqtr4d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
124123oveq1d 5834 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x ) )
12537recnd 8856 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
126125, 121, 62, 64divsubdird 9570 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
) ) )
12712, 62, 64divcan3d 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( x  x.  ( log `  x ) )  /  x )  =  ( log `  x
) )
128127oveq2d 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
129126, 128eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
130124, 129eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
13152, 62, 64divcan3d 9536 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
132130, 131oveq12d 5837 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
13365, 112, 1323eqtr3rd 2325 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )
13442, 53, 1333eqtrrd 2321 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
135134mpteq2dva 4107 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) ) )
13619, 11remulcld 8858 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
13738, 136resubcld 9206 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
13821, 50remulcld 8858 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
139138, 11resubcld 9206 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
140 selberg3 20702 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 )
141140a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
14219recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  CC )
14350, 20rerpdivcld 10412 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
144143recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
14511rehalfcld 9953 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
146145recnd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
147142, 144, 146subdid 9230 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
148142, 12, 51, 46div32d 9554 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
149148eqcomd 2289 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )  =  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
150 2ne0 9824 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
151150a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
15212, 142, 151divcan2d 9533 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( ( log `  x )  /  2 ) )  =  ( log `  x
) )
153149, 152oveq12d 5837 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )
154147, 153eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )
155154mpteq2dva 4107 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
156143, 145resubcld 9206 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
157 ioossre 10706 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
158 o1const 12087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  2 )  e.  O ( 1 ) )
159157, 44, 158mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  2 )  e.  O ( 1 )
160159a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  2 )  e.  O
( 1 ) )
161 vmalogdivsum 20682 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
162161a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
16319, 156, 160, 162o1mul2 12092 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
164155, 163eqeltrrd 2359 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
165137, 139, 141, 164o1sub2 12093 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
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) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
166135, 165eqeltrd 2358 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
167166trud 1320 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1312    = wceq 1628    e. wcel 1688    =/= wne 2447    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    +oocpnf 8859    < clt 8862    - cmin 9032    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   RR+crp 10349   (,)cioo 10650   ...cfz 10776   |_cfl 10918   O ( 1 )co1 11954   sum_csu 12152   logclog 19906  Λcvma 20323  ψcchp 20324
This theorem is referenced by:  selberg34r  20714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-o1 11958  df-lo1 11959  df-sum 12153  df-ef 12343  df-e 12344  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-prm 12753  df-pc 12884  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-cxp 19909  df-em 20281  df-cht 20328  df-vma 20329  df-chp 20330  df-ppi 20331  df-mu 20332
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