Theorem seq0fval 6536

Description: Value of the 0-based recursive sequence builder operation.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. V
seq0val.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq0fval	|- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)

Proof of Theorem seq0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. 2 |- S e. V
2		seq0val.2	. 2 |- F e. V
3		oprex 3989	. . . 4 |- ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) e. V
4		resexg 3400	. . . 4 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) e. V -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. V
6		opreq1 3974	. . . . 5 |- (f = S -> (f seq1 (g shift 1)) = (S seq1 (g shift 1)))
7	6	opreq1d 3981	. . . 4 |- (f = S -> ((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1))
8		reseq1 3374	. . . 4 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))
9	7, 8	syl 10	. . 3 |- (f = S -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))
10		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (g = F -> (g shift 1) = (F shift 1))
11	10	opreq2d 3982	. . . . 5 |- (g = F -> (S seq1 (g shift 1)) = (S seq1 (F shift 1)))
12	11	opreq1d 3981	. . . 4 |- (g = F -> ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1))
13		reseq1 3374	. . . 4 |- (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) -> (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
14	12, 13	syl 10	. . 3 |- (g = F -> (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
15		df-seq0 6535	. . 3 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)}
16	5, 9, 14, 15	oprabval5 4035	. 2 |- ((S e. V /\ F e. V) -> (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
17	1, 2, 16	mp2an 699	1 |- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   |` cres 3178  (class class class)co 3969  1c1 5247  -ucneg 5305  NN0cn0 5309   seq1 cseq1 6308   shift cshi 6341   seq0 cseq0 6533

This theorem is referenced by:  seq0valt 6537  seq0seqz 6543  seq0fn 6547  seq00 6551  seq0p1 6552

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-seq0 6535

Copyright terms: Public domain