Theorem seq1bndi 7113

Description: An initial segment of an infinite sequence of complex numbers is bounded.

Hypothesis

Ref	Expression
seq1bnd.1	|- F:NN-->CC

Assertion

Ref	Expression
seq1bndi	|- (A e. NN -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem seq1bndi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2696	. . . 4 |- (z = 1 -> (y <_ z <-> y <_ 1))
2	1	imbi1d 616	. . 3 |- (z = 1 -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x)))
3	2	rexralbidv 1728	. 2 |- (z = 1 -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x)))
4		breq2 2696	. . . 4 |- (z = w -> (y <_ z <-> y <_ w))
5	4	imbi1d 616	. . 3 |- (z = w -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x)))
6	5	rexralbidv 1728	. 2 |- (z = w -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x)))
7		breq2 2696	. . . 4 |- (z = (w + 1) -> (y <_ z <-> y <_ (w + 1)))
8	7	imbi1d 616	. . 3 |- (z = (w + 1) -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
9	8	rexralbidv 1728	. 2 |- (z = (w + 1) -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
10		breq2 2696	. . . 4 |- (z = A -> (y <_ z <-> y <_ A))
11	10	imbi1d 616	. . 3 |- (z = A -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x)))
12	11	rexralbidv 1728	. 2 |- (z = A -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x)))
13		seq1bnd.1	. . . . . 6 |- F:NN-->CC
14		1nn 6079	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15		ffvelrn 3928	. . . . . 6 |- ((F:NN-->CC /\ 1 e. NN) -> (F` 1) e. CC)
16	13, 14, 15	mp2an 701	. . . . 5 |- (F` 1) e. CC
17	16	abscli 7041	. . . 4 |- (abs` (F` 1)) e. RR
18		1re 5589	. . . 4 |- 1 e. RR
19	17, 18	readdcli 5488	. . 3 |- ((abs` (F` 1)) + 1) e. RR
20		nnle1eq1 6090	. . . . 5 |- (y e. NN -> (y <_ 1 <-> y = 1))
21		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (F` y) = (F` 1))
22	21	fveq2d 3839	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` 1)))
23	17	ltp1i 5953	. . . . . 6 |- (abs` (F` 1)) < ((abs` (F` 1)) + 1)
24	22, 23	syl6eqbr 2725	. . . . 5 |- (y = 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))
25	20, 24	syl6bi 212	. . . 4 |- (y e. NN -> (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1)))
26	25	rgen 1744	. . 3 |- A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))
27		breq2 2696	. . . . . 6 |- (x = ((abs` (F` 1)) + 1) -> ((abs` (F` y)) < x <-> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1)))
28	27	imbi2d 615	. . . . 5 |- (x = ((abs` (F` 1)) + 1) -> ((y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))))
29	28	ralbidv 1709	. . . 4 |- (x = ((abs` (F` 1)) + 1) -> (A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x) <-> A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))))
30	29	rcla4ev 1923	. . 3 |- ((((abs` (F` 1)) + 1) e. RR /\ A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x))
31	19, 26, 30	mp2an 701	. 2 |- E.x e. RR A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x)
32		leloe 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ (w + 1) e. RR) -> (y <_ (w + 1) <-> (y < (w + 1) \/ y = (w + 1))))
33		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. NN -> y e. RR)
34		peano2nn 6080	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (w + 1) e. NN)
35		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w + 1) e. NN -> (w + 1) e. RR)
36	34, 35	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (w + 1) e. RR)
37	32, 33, 36	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y < (w + 1) \/ y = (w + 1))))
38		nnleltp1 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y <_ w <-> y < (w + 1)))
39	38	orbi1d 618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((y <_ w \/ y = (w + 1)) <-> (y < (w + 1) \/ y = (w + 1))))
40	37, 39	bitr4d 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
41	40	ancoms 438	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. NN /\ y e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
42	41	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
43	42	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
44		max1ALT 6061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. RR -> z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
45	44	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
46		ltletr 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((abs` (F` y)) e. RR /\ z e. RR /\ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR) -> (((abs` (F` y)) < z /\ z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
47	13	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> (F` y) e. CC)
48		abscl 7035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` y) e. CC -> (abs` (F` y)) e. RR)
49	47, 48	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (abs` (F` y)) e. RR)
50	49	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (abs` (F` y)) e. RR)
51		simplr 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> z e. RR)
52		ifcl 2434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR /\ z e. RR) -> if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR)
53	13	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((w + 1) e. NN -> (F` (w + 1)) e. CC)
54	34, 53	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. NN -> (F` (w + 1)) e. CC)
55		abscl 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` (w + 1)) e. CC -> (abs` (F` (w + 1))) e. RR)
56		peano2re 5590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((abs` (F` (w + 1))) e. RR -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR)
57	54, 55, 56	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR)
58	52, 57	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR)
59	58	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR)
60	46, 50, 51, 59	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (((abs` (F` y)) < z /\ z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
61	45, 60	mpan2d 706	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` y)) < z -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
62	61	imim2d 25	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
63	62	imp 348	. . . . . . . . . 10 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
64		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (w + 1) -> (F` y) = (F` (w + 1)))
65	64	fveq2d 3839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` (w + 1))))
66	65	breq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (w + 1) -> ((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <-> (abs` (F` (w + 1))) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1)))
67		ltp1 5951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((abs` (F` (w + 1))) e. RR -> (abs` (F` (w + 1))) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1))
68	54, 55, 67	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (abs` (F` (w + 1))) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1))
69	66, 68	syl5cbir 209	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1)))
70	69	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1)))
71		max2 6062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. RR /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
72	71, 57	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. RR /\ w e. NN) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
73	72	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
74	73	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
75		ltletr 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((abs` (F` y)) e. RR /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR /\ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR) -> (((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
76	57	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR)
77	75, 50, 76, 59	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
78	74, 77	mpan2d 706	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
79	70, 78	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
80	79	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
81	63, 80	jaod 424	. . . . . . . . 9 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> ((y <_ w \/ y = (w + 1)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
82	43, 81	sylbid 201	. . . . . . . 8 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
83	82	ex 371	. . . . . . 7 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
84	83	r19.20dva 1755	. . . . . 6 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
85	84, 58	jctild 604	. . . . 5 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> (if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR /\ A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))))
86		breq2 2696	. . . . . . . 8 |- (x = if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) -> ((abs` (F` y)) < x <-> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
87	86	imbi2d 615	. . . . . . 7 |- (x = if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) -> ((y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
88	87	ralbidv 1709	. . . . . 6 |- (x = if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) -> (A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x) <-> A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
89	88	rcla4ev 1923	. . . . 5 |- ((if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR /\ A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x))
90	85, 89	syl6 22	. . . 4 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
91	90	r19.23adva 1793	. . 3 |- (w e. NN -> (E.z e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
92		breq2 2696	. . . . . 6 |- (x = z -> ((abs` (F` y)) < x <-> (abs` (F` y)) < z))
93	92	imbi2d 615	. . . . 5 |- (x = z -> ((y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)))
94	93	ralbidv 1709	. . . 4 |- (x = z -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) <-> A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)))
95	94	cbvrexv 1847	. . 3 |- (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.z e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z))
96	91, 95	syl5ib 204	. 2 |- (w e. NN -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
97	3, 6, 9, 12, 31, 96	nnind 6082	1 |- (A e. NN -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692  ifcif 2415   class class class wbr 2692  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640  abscabs 6951

This theorem is referenced by:  seq1ublem 7114  caubndi 7129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955

Copyright terms: Public domain