Theorem seq1res 6692

Description: Restricting its characteristic function to NN does not affect the seq1 function.

Hypotheses

Ref	Expression
seq111.1	|- S e. V
seq111.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq1res	|- (S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F)

Proof of Theorem seq1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` 1))
2		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` 1))
3	1, 2	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (y = 1 -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` 1) = ((S seq1 F)` 1)))
4		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = z -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` z))
5		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = z -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` z))
6	4, 5	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (y = z -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)))
7		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)))
8		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` (z + 1)))
9	7, 8	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (y = (z + 1) -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = ((S seq1 F)` (z + 1))))
10		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = x -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` x))
11		fveq2 3835	. . . . 5 |- (y = x -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` x))
12	10, 11	eqeq12d 1532	. . . 4 |- (y = x -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x)))
13		1nn 6079	. . . . . 6 |- 1 e. NN
14		fvres 3845	. . . . . 6 |- (1 e. NN -> ((F |` NN)` 1) = (F` 1))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((F |` NN)` 1) = (F` 1)
16		seq111.1	. . . . . 6 |- S e. V
17		seq111.2	. . . . . . 7 |- F e. V
18		resexg 3484	. . . . . . 7 |- (F e. V -> (F |` NN) e. V)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F |` NN) e. V
20	16, 19	seq11 6682	. . . . 5 |- ((S seq1 (F |` NN))` 1) = ((F |` NN)` 1)
21	16, 17	seq11 6682	. . . . 5 |- ((S seq1 F)` 1) = (F` 1)
22	15, 20, 21	3eqtr4i 1548	. . . 4 |- ((S seq1 (F |` NN))` 1) = ((S seq1 F)` 1)
23		id 59	. . . . . . 7 |- (((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z) -> ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z))
24		peano2nn 6080	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
25		fvres 3845	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> ((F |` NN)` (z + 1)) = (F` (z + 1)))
26	24, 25	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((F |` NN)` (z + 1)) = (F` (z + 1)))
27	23, 26	opreqan12rd 4038	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> (((S seq1 (F |` NN))` z)S((F |` NN)` (z + 1))) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
28	16, 19	seq1p1 6683	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = (((S seq1 (F |` NN))` z)S((F |` NN)` (z + 1))))
29	28	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = (((S seq1 (F |` NN))` z)S((F |` NN)` (z + 1))))
30	16, 17	seq1p1 6683	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((S seq1 F)` (z + 1)) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
31	30	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 1560	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = ((S seq1 F)` (z + 1)))
33	32	ex 371	. . . 4 |- (z e. NN -> (((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z) -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = ((S seq1 F)` (z + 1))))
34	3, 6, 9, 12, 22, 33	nnind 6082	. . 3 |- (x e. NN -> ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x))
35	34	rgen 1744	. 2 |- A.x e. NN ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x)
36	16, 19	seq1fn 6685	. . 3 |- (S seq1 (F |` NN)) Fn NN
37	16, 17	seq1fn 6685	. . 3 |- (S seq1 F) Fn NN
38		eqfnfv2 3911	. . 3 |- (((S seq1 (F |` NN)) Fn NN /\ (S seq1 F) Fn NN) -> ((S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F) <-> A.x e. NN ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x)))
39	36, 37, 38	mp2an 701	. 2 |- ((S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F) <-> A.x e. NN ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x))
40	35, 39	mpbir 188	1 |- (S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F)

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  Vcvv 1857   |` cres 3253   Fn wfn 3258  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  1c1 5389   + caddc 5391  NNcn 5450   seq1 cseq1 6672

This theorem is referenced by:  dfef2i 7512  efseq0ex 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673

Copyright terms: Public domain