Theorem seq1res 6272

Description: Restricting its characteristic function to NN does not affect the seq1 function.

Hypotheses

Ref	Expression
seq111.1	|- S e. V
seq111.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq1res	|- (S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F)

Proof of Theorem seq1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq111.1	. . . 4 |- S e. V
2		seq111.2	. . . . 5 |- F e. V
3		resexg 3386	. . . . 5 |- (F e. V -> (F |` NN) e. V)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- (F |` NN) e. V
5	1, 4	seq1fn 6265	. . 3 |- (S seq1 (F |` NN)) Fn NN
6	1, 2	seq1fn 6265	. . 3 |- (S seq1 F) Fn NN
7		eqfnfv 3788	. . 3 |- (((S seq1 (F |` NN)) Fn NN /\ (S seq1 F) Fn NN) -> ((S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F) <-> (NN = NN /\ A.x e. NN ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x))))
8	5, 6, 7	mp2an 696	. 2 |- ((S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F) <-> (NN = NN /\ A.x e. NN ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x)))
9		eqid 1473	. 2 |- NN = NN
10		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` 1))
11		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` 1))
12	10, 11	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (y = 1 -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` 1) = ((S seq1 F)` 1)))
13		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = z -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` z))
14		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = z -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` z))
15	13, 14	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (y = z -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)))
16		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)))
17		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` (z + 1)))
18	16, 17	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (y = (z + 1) -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = ((S seq1 F)` (z + 1))))
19		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = x -> ((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 (F |` NN))` x))
20		fveq2 3715	. . . . 5 |- (y = x -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` x))
21	19, 20	eqeq12d 1486	. . . 4 |- (y = x -> (((S seq1 (F |` NN))` y) = ((S seq1 F)` y) <-> ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x)))
22		1nn 5890	. . . . . 6 |- 1 e. NN
23		fvres 3725	. . . . . 6 |- (1 e. NN -> ((F |` NN)` 1) = (F` 1))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((F |` NN)` 1) = (F` 1)
25	1, 4	seq11 6262	. . . . 5 |- ((S seq1 (F |` NN))` 1) = ((F |` NN)` 1)
26	1, 2	seq11 6262	. . . . 5 |- ((S seq1 F)` 1) = (F` 1)
27	24, 25, 26	3eqtr4 1502	. . . 4 |- ((S seq1 (F |` NN))` 1) = ((S seq1 F)` 1)
28		id 59	. . . . . . 7 |- (((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z) -> ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z))
29		peano2nn 5891	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
30		fvres 3725	. . . . . . . 8 |- ((z + 1) e. NN -> ((F |` NN)` (z + 1)) = (F` (z + 1)))
31	29, 30	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((F |` NN)` (z + 1)) = (F` (z + 1)))
32	28, 31	opreqan12rd 3971	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> (((S seq1 (F |` NN))` z)S((F |` NN)` (z + 1))) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
33	1, 4	seq1p1 6263	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = (((S seq1 (F |` NN))` z)S((F |` NN)` (z + 1))))
34	33	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = (((S seq1 (F |` NN))` z)S((F |` NN)` (z + 1))))
35	1, 2	seq1p1 6263	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ((S seq1 F)` (z + 1)) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
36	35	adantr 389	. . . . . 6 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 1514	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ ((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z)) -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = ((S seq1 F)` (z + 1)))
38	37	ex 373	. . . 4 |- (z e. NN -> (((S seq1 (F |` NN))` z) = ((S seq1 F)` z) -> ((S seq1 (F |` NN))` (z + 1)) = ((S seq1 F)` (z + 1))))
39	12, 15, 18, 21, 27, 38	nnind 5893	. . 3 |- (x e. NN -> ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x))
40	39	rgen 1695	. 2 |- A.x e. NN ((S seq1 (F |` NN))` x) = ((S seq1 F)` x)
41	8, 9, 40	mpbir2an 729	1 |- (S seq1 (F |` NN)) = (S seq1 F)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807   |` cres 3167   Fn wfn 3172  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  1c1 5215   + caddc 5217  NNcn 5276   seq1 cseq1 6252

This theorem is referenced by:  dfef2 7257  efseq0ex 7261

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253

Copyright terms: Public domain