Theorem seq1rn2 6686

Description: Range of the recursive sequence builder.

Hypotheses

Ref	Expression
seq111.1	|- S e. V
seq111.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq1rn2	|- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ran ( S seq1 F) (_ C)

Proof of Theorem seq1rn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` 1))
2	1	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` 1) e. C))
3	2	imbi2d 615	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` 1) e. C)))
4		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (y = z -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` z))
5	4	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (y = z -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` z) e. C))
6	5	imbi2d 615	. . . . 5 |- (y = z -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` z) e. C)))
7		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` (z + 1)))
8	7	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))
9	8	imbi2d 615	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
10		fveq2 3835	. . . . . . 7 |- (y = x -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` x))
11	10	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (y = x -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` x) e. C))
12	11	imbi2d 615	. . . . 5 |- (y = x -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` x) e. C)))
13		pm3.26 317	. . . . . . 7 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D) -> (F` 1) e. C)
14		seq111.1	. . . . . . . 8 |- S e. V
15		seq111.2	. . . . . . . 8 |- F e. V
16	14, 15	seq11 6682	. . . . . . 7 |- ((S seq1 F)` 1) = (F` 1)
17	13, 16	syl5eqel 1595	. . . . . 6 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D) -> ((S seq1 F)` 1) e. C)
18	17	3adant3 805	. . . . 5 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` 1) e. C)
19		ffvelrn 3928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ (z + 1) e. (NN \ {1})) -> ((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) e. D)
20		fvres 3845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z + 1) e. (NN \ {1}) -> ((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) = (F` (z + 1)))
21	20	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z + 1) e. (NN \ {1}) -> (((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) e. D <-> (F` (z + 1)) e. D))
22	21	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ (z + 1) e. (NN \ {1})) -> (((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) e. D <-> (F` (z + 1)) e. D))
23	19, 22	mpbid 193	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ (z + 1) e. (NN \ {1})) -> (F` (z + 1)) e. D)
24		seq1lem2 6675	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (z + 1) e. (NN \ {1}))
25	23, 24	sylan2 453	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ z e. NN) -> (F` (z + 1)) e. D)
26	14, 15	seq1p1 6683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> ((S seq1 F)` (z + 1)) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
27	26	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> (((S seq1 F)` (z + 1)) e. C <-> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
28		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = ((S seq1 F)` z) -> (wSv) = (((S seq1 F)` z)Sv))
29	28	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w = ((S seq1 F)` z) -> ((wSv) e. C <-> (((S seq1 F)` z)Sv) e. C))
30		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (v = (F` (z + 1)) -> (((S seq1 F)` z)Sv) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
31	30	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v = (F` (z + 1)) -> ((((S seq1 F)` z)Sv) e. C <-> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
32	29, 31	rcla42v 1926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((S seq1 F)` z) e. C /\ (F` (z + 1)) e. D) -> (A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
33	32	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) -> (A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
34		ffnoprv 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (S:(C X. D)-->C <-> (S Fn (C X. D) /\ A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C))
35	34	pm3.27bi 324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (S:(C X. D)-->C -> A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C)
36	33, 35	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) -> (S:(C X. D)-->C -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
37	36	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) /\ S:(C X. D)-->C) -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C)
38	27, 37	syl5bir 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> ((((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))
39	38	exp4c 380	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> ((F` (z + 1)) e. D -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
40	39	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ z e. NN) -> ((F` (z + 1)) e. D -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
41	25, 40	mpd 26	. . . . . . . . . . 11 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ z e. NN) -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
42	41	ex 371	. . . . . . . . . 10 |- ((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
43	42	com4r 41	. . . . . . . . 9 |- (S:(C X. D)-->C -> ((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
44	43	impcom 349	. . . . . . . 8 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
45	44	3adant1 803	. . . . . . 7 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
46	45	com12 11	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
47	46	a2d 13	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` z) e. C) -> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
48	3, 6, 9, 12, 18, 47	nnind 6082	. . . 4 |- (x e. NN -> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` x) e. C))
49	48	com12 11	. . 3 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (x e. NN -> ((S seq1 F)` x) e. C))
50	49	r19.21aiv 1759	. 2 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> A.x e. NN ((S seq1 F)` x) e. C)
51	14, 15	seq1fn 6685	. . 3 |- (S seq1 F) Fn NN
52		fnfvrnss 3944	. . 3 |- (((S seq1 F) Fn NN /\ A.x e. NN ((S seq1 F)` x) e. C) -> ran ( S seq1 F) (_ C)
53	51, 52	mpan 699	. 2 |- (A.x e. NN ((S seq1 F)` x) e. C -> ran ( S seq1 F) (_ C)
54	50, 53	syl 10	1 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ran ( S seq1 F) (_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  Vcvv 1857   \ cdif 2096   (_ wss 2099  {csn 2467   X. cxp 3249  ran crn 3252   |` cres 3253   Fn wfn 3258  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  1c1 5389   + caddc 5391  NNcn 5450   seq1 cseq1 6672

This theorem is referenced by:  seq1rn 6687  seq1f2 6689  ruclem13 7734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673

Copyright terms: Public domain