Theorem seq1seq02t 6544

Description: A relationship between the 1-based and 0-based recursive sequence builders.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. V
seq0val.2	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
seq1seq02t	|- (N e. NN -> ((S seq1 (F shift 1))` N) = (((S seq0 F) shift 1)` N))

Proof of Theorem seq1seq02t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncnt 5932	. . 3 |- (N e. NN -> N e. CC)
2		ax1cn 5281	. . . 4 |- 1 e. CC
3		oprex 3989	. . . . 5 |- (S seq0 F) e. V
4	3	shftvalt 6347	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ N e. CC) -> (((S seq0 F) shift 1)` N) = ((S seq0 F)` (N - 1)))
5	2, 4	mpan 697	. . 3 |- (N e. CC -> (((S seq0 F) shift 1)` N) = ((S seq0 F)` (N - 1)))
6	1, 5	syl 10	. 2 |- (N e. NN -> (((S seq0 F) shift 1)` N) = ((S seq0 F)` (N - 1)))
7		nnm1nn0t 6178	. . 3 |- (N e. NN -> (N - 1) e. NN0)
8		seq0val.1	. . . 4 |- S e. V
9		seq0val.2	. . . 4 |- F e. V
10	8, 9	seq0valt 6537	. . 3 |- ((N - 1) e. NN0 -> ((S seq0 F)` (N - 1)) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N - 1)))
11	7, 10	syl 10	. 2 |- (N e. NN -> ((S seq0 F)` (N - 1)) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N - 1)))
12		subclt 5379	. . . . 5 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC) -> (N - 1) e. CC)
13	2, 12	mpan2 698	. . . 4 |- (N e. CC -> (N - 1) e. CC)
14		oprex 3989	. . . . . 6 |- (S seq1 (F shift 1)) e. V
15	14	shftval4t 6350	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ (N - 1) e. CC) -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N - 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` (1 + (N - 1))))
16	2, 15	mpan 697	. . . 4 |- ((N - 1) e. CC -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N - 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` (1 + (N - 1))))
17	1, 13, 16	3syl 20	. . 3 |- (N e. NN -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N - 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` (1 + (N - 1))))
18		pncan3t 5389	. . . . . 6 |- ((1 e. CC /\ N e. CC) -> (1 + (N - 1)) = N)
19	2, 18	mpan 697	. . . . 5 |- (N e. CC -> (1 + (N - 1)) = N)
20	1, 19	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> (1 + (N - 1)) = N)
21	20	fveq2d 3734	. . 3 |- (N e. NN -> ((S seq1 (F shift 1))` (1 + (N - 1))) = ((S seq1 (F shift 1))` N))
22	17, 21	eqtrd 1510	. 2 |- (N e. NN -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N - 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` N))
23	6, 11, 22	3eqtrrd 1515	1 |- (N e. NN -> ((S seq1 (F shift 1))` N) = (((S seq0 F) shift 1)` N))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304  -ucneg 5305  NNcn 5308  NN0cn0 5309   seq1 cseq1 6308   shift cshi 6341   seq0 cseq0 6533

This theorem is referenced by:  seq1seq0t 6545  seqzval2t 6554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-shft 6342  df-seq0 6535

Copyright terms: Public domain